Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，

2

2

）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），直線l經(jīng)過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F，交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)．求證：∠PAF=∠QAF．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，

2

2

），建立方程組，求出a，b，即可求橢圓C的方程；
（2）分類(lèi)討論，斜率不存在時(shí)，P，Q關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，∠PAF=∠QAF；斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y=k（x-1），直線代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，證明k_PA+k_QA=0即可．

解答： （1）解：∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，

2

2

）．
∴

a2-b2 a = 2 2 1 a2 + 1 2 b2 =1

，
∴a=

2

，b=1，
∴橢圓C的方程

x2

2

+y2=1；
（2）證明：斜率不存在時(shí)，P，Q關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，∠PAF=∠QAF；
斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y=k（x-1），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
直線代入橢圓方程可得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
∴x₁+x₂=

4k2

1+2k2

，x₁x₂=

2k2-2

1+2k2

，
∴k_PA+k_QA=

y1

x1-2

+

y2

x2-2

=2k+

k(x1+x2-4)

x1x2-2(x1+x2)+4

=2k+

k(-4k2-4)

2k2+2

=0，
∴∠PAF=∠QAF，
綜上，∠PAF=∠QAF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．