Question

【題目】如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AD=a，E為CD上任意一點．
（I）求證：B1E⊥AD1；
（Ⅱ）若CD= a，是否存在這樣的E點，使得AD1與平面B1AE成45°的角？說明理由．

Answer 1

【答案】證明：（I）連接A1D，B1C，
∵AA1=AD，AA1∥AD，AA1⊥AD，
∴四邊形AA1D1D是正方形，
∴AD1⊥A1D，
∵A1B1⊥平面AA1D1D，AD1平面AA1D1D，
∴A1B1⊥AD1 ，
又A1D平面A1B1CD，A1B1平面A1B1CD，A1B1∩A1D=A1 ，
∴AD1⊥平面A1B1CD，又B1E平面A1B1CD，
∴B1E⊥AD1 ．
（II）以A為原點，以AB，AD，AA1為坐標軸建立空間坐標系，
則A（0，0，0），D1（0，a，a），B1（ a，0，a），設(shè)E（m，a，0），（0 ）．
∴ =（0，a，a）， =（ a，0，a）， =（m，a，0）．
設(shè)平面B1AE的法向量為 =（x，y，z），則 ，
∴ ，令x=1得 =（1，﹣ ，﹣ ）．
∴cos＜ ＞= =﹣ =﹣ ．
假設(shè)存在這樣的E點，使得AD1與平面B1AE成45°的角，
則 = ，解得m= a．
∴CD上存在點E使得AD1與平面B1AE成45°的角．

【解析】（I）連接A1D，B1C，則可通過證明AD1⊥平面A1B1CD得出B1E⊥AD1 ． （II）以A為原點建立坐標系，設(shè)DE=m，求出 及平面B1AE的法向量 ，令|cos＜ ＞|= 解出m，根據(jù)m的值得出結(jié)論．
【考點精析】利用空間中直線與直線之間的位置關(guān)系和空間角的異面直線所成的角對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．