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【題目】已知函數.

（1）若函數在其定義域內為單調函數，求的取值范圍；

（2）設函數，若在上至少存在一點，使得成立，求實數的取值范圍.

【答案】（1）或（2）

【解析】

（1）先求導得到，令，原命題等價于 在內或恒成立，再分兩種情況討論得解；（2）先求出函數的最值，再對分三種情況討論得解.

（1），

令，要使在其定義域內是單調函數，只需在內，滿足或恒成立，

當且僅當時，，時，，

因為，所以當且僅當時，，時，，

因為在內有，當且僅當即時取等號，

所以當時，，，此時在單調遞增，

當時，，，此時在單調遞減，

綜上，的取值范圍為或.

（2）因為在上是減函數，

所以時，；時，，即，

①當時，由（1）知在上遞減，所以，不合題意，

②當時，由，

由（1）知當時，在上單調遞增，

所以，不合題意，

③當時，，，

由題意可得，只需時，，即可，

由（1）知在上是增函數，，

又在上是增函數，則，，

而，，

只需，解得，

綜上的取值范圍是.

練習冊系列答案
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