如圖所示,球O的半徑為2,AC是球的直徑,AB⊥BC,球O的截面BDC把球面面積分成3∶1的兩部分,BC是截面圓的直徑,D是底面圓周上的一點,且滿足的弧長之比為1∶2.

(1)證明平面ABD⊥平面ADC;

(2)求異面直線AC和BD所成的角.

(1)證明:設截面圓圓心為O1,則OO1⊥BC于O1,

AB⊥BC,且A、B、C、O、O1共面,∴AB∥OO1.

∵OO1⊥平面BCD,∴AB⊥平面BDC.

∴AB⊥DC.又BD⊥DC,∴DC⊥平面ABD.

∵DC平面ADC,∴平面ABD⊥平面ADC.

(2)解析:在截面圓O1中,作CEBD,由平面幾何知識,E在圓O1的圓周上,連結(jié)EA、BE,同(1)可證CE⊥AF,易知AB=2OO1=2,BC=,

∵的弧長之比為1∶2,

∴BD=CE=3,DC=BE=3.

在Rt△ABE中,AE=,

在Rt△AEC中,tan∠ACE=,

∴所求角為arctan.

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[　　]

A．

B．

C．

D．

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（1）證明平面ABD⊥平面ADC；

（2）求異面直線AC和BD所成的角.

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