Question

過(guò)點(diǎn)A（0，a）作直線交圓M：（x-2）²+y²=1于點(diǎn)B、C，
（理）在BC上取一點(diǎn)P，使P點(diǎn)滿足：

AB

=λ

AC

，

BP

=λ

PC

，(λ∈R)
（文）在線段BC取一點(diǎn)P，使點(diǎn)B、P、C的橫坐標(biāo)的倒數(shù)成等差數(shù)列
（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）若（1）的軌跡交圓M于點(diǎn)R、S，求△MRS面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）（理）令P（x，y），因?yàn)?span id="ci46keo" class="MathJye">

AB

=λ

AC

，

BP

=λ

PC

，(λ∈R)可得x_B=λx_C，x-x_B=λ（x_C-x），由

x-xB

xC-x

=

xB

xC

，可求x=

2xBxC

xB+xC

①
設(shè)過(guò)A所作的直線方程為y=kx+a，（顯然k存在）聯(lián)立直線與圓的方程，結(jié)合方程的跟與系數(shù)關(guān)系結(jié)合①，得x=

a2+3

2-ak

，y=kx+a=

2a+3k

2-ak

，消去k可求
（文）令P（x，y），因?yàn)辄c(diǎn)B、P、C的橫坐標(biāo)的倒數(shù)成等差數(shù)列
所以

2

x

=

1

xB

+

1

xc

⇒x=

2xBxc

xB+xc

（以下同理）
（2）上述軌跡過(guò)為定點(diǎn)（

3

2

，0）的直線在圓M內(nèi)部分，由

2x-ay-3=0 (x-2)2+y2=1

得（a²+4）y²-2ay-3=0，利用弦長(zhǎng)公式可求|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

=4

a2+3 (a2+4)2

代入三角形面積公式S△MRS=

1

2

×

1

2

×4

a2+3 (a2+4)2

=

a2+3 (a2+4)2

=

1 (a2+3)+ 1 (a2+3) +2

，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可求

解答：解：（1）（理）令P（x，y），因?yàn)?span id="qqakime" class="MathJye">

AB

=λ

AC

，

BP

=λ

PC

，(λ∈R)
所以x_B=λx_C，x-x_B=λ（x_C-x）
∴

x-xB

xC-x

=

xB

xC

，
∴x=

2xBxC

xB+xC

①
設(shè)過(guò)A所作的直線方程為y=kx+a，（顯然k存在）
又由

y=kx+a (x-2)2+y2=1

得（1+k²）x²+（2ak-4）x+a²+3=0
∴xB+xC=

4-2ak

1+k2

，xBxC=

2a+3k

2-ak

代入①，得x=

a2+3

2-ak

，
∴y=kx+a=

2a+3k

2-ak

消去k，得所求軌跡為2x-ay-3=0，（在圓M內(nèi)部）
（文）令P（x，y），因?yàn)辄c(diǎn)B、P、C的橫坐標(biāo)的倒數(shù)成等差數(shù)列
所以  

2

x

=

1

xB

+

1

xc

⇒x=

2xBxc

xB+xc

（以下同理）
（2）上述軌跡過(guò)為定點(diǎn)（

3

2

，0）的直線在圓M內(nèi)部分
，由

2x-ay-3=0 (x-2)2+y2=1

得（a²+4）y²-2ay-3=0
則|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

=4

a2+3 (a2+4)2

∴S△MRS=

1

2

×

1

2

×4

a2+3 (a2+4)2

=

a2+3 (a2+4)2

=

1 (a2+3)+ 1 (a2+3) +2

令t=a²+3，則t≥3，而函數(shù)f(t)=t+

1

t

在t≥3時(shí)遞增，
∴S△MRS≤

1 3+ 1 3 +2

=

3

4

．
∴S△MRS|max=

3

4

，此時(shí)t=3，a=0，

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，點(diǎn)的軌跡方程的求解，解答本題要求考生具備一定的邏輯推理的能力及運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的綜合能力