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精英家教網（1）已知tan(α+
π
4
)=-3，求
sinα(3cosα-sinα)
1+tanα
的值．
（2）如圖：△ABC中，|
AC
|=2|
AB
|，D在線段BC上，且
DC
=2
BD
，BM是中線，用向量證明AD⊥BM．（平面幾何證明不得分）
分析：（1）先把已知條件利用兩角和與差的正切函數公式化簡，然后通過觀察所求的式子發(fā)現(xiàn)：分子分母中既有弦還有切，而已知條件只能求出正切，所以把原式里的正弦和余弦化切，即給分子分母都除以cos2α（分母還應根據弦切互化公式化弦），最后代入求值；
（2）要證明AD⊥BM，即要證明
AD
•
BM
=0，所以就要表示出
AD
和
BM
，利用三角形法則分別表示出即可．
解答：精英家教網解：（1）∵tan(α+
π
4
)=-3，∴tanα=2
∴
sinα(3cosα-sinα)
1+tanα
=
3tanα-tan2α
(1+tanα)(1+tan2α)
=
2
15

（2）在三角形ABC中，利用三角形法則得
AD
-
AB
=
BD
，
AC
-
AD
=
DC
，
因為
DC
=2
BD
，代入求得：
AD
=
2
3
AB
+
1
3
AC
；
因為M為AC的中點，所以
AM
=
MC
，而
BM
-
BA
=
AM
，
BC
-
BM
=
MC
，則有
BM
=-
AB
+
1
2
AC
，
∴
AD
•
BM
=
1
6
(4|
AB
|2-|
AC
|2)=0，
∴AD⊥BM．
點評：本題考查了兩角和的正切函數公式，同角三角函數間的基本關系，以及先切互化公式，向量的表示法，讓學生學會了用向量的方法證明兩條線段的垂直，本題是一道多知識點的綜合題，要求學生對每一個知識點都要靈活掌握和應用．
練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

（1）已知tanα=-2，且α是第二象限的角，求sinα和cosα；
（2）已知0＜x＜
π
4
，sin(
π
4
-x)=
5
13
，求
cos2x
cos(
π
4
+x)
的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（1）已知tan（α+3π）=3，求
sinα-2cosα
sinα+cosα
的值；
（2）已知α為第二象限角，化簡cosα
1-sinα
1+sinα
+sinα
1-cosα
1+cosα
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（1）已知tanα=-3，且α是第二象限的角，求sinα和cosα；
（2）已知sinα-cosα=-
5
5
 ，π＜α＜2π，求 tanα 的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（1）已知tanα=2，求
2sinα-3cosα
sinα+cosα
和sinα•cosα+cos2α的值；
（2）已知cos(a-β)=-
4
5
，cos(a+β)=
4
5
，90°＜a-β＜180°，270°＜a+β＜360°，求cos2a的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（1）已知tanα=3，計算  
4sinα-2cosα
5cosα+3sinα
的值
（2）當sinθ+cosθ=
3
3
時，求tanθ+
1
tanθ
的值．

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