解:(1)當a=1時,函數(shù)f(x)=sin
2x-4cosx=1-cos
2x-4cosx=-(cosx+2)
2+5,
令t=cosx,由于
,∴t∈[0,1].
故有f(x)=g(t)=-(t+2)
2+5,由于g(t)在[0,1]上是減函數(shù),故g(t)的最小值為g(1)=-4.
(2)由于函數(shù)g(t)=-t
2-4at+1的對稱軸為t=-2a,t∈[0,1],區(qū)間的中點為
,
當-2a≤
時,函數(shù)g(t)=-t
2-4at+1的最小值為 g(1)=-4a=-
,解得 a=
.
當-2a>
時,函數(shù)g(t)=-t
2-4at+1的最小值為 g(0)=1≠-
,不滿足條件.
綜上可得,a=
.
分析:(1)當a=1時,令t=cosx,由于
,可得 t∈[0,1],f(x)=g(t)=-(t+2)
2+5,利用函數(shù)的單調(diào)性
求得g(t)的最小值.
(2)由于函數(shù)g(t)=-t
2-4at+1的對稱軸為t=-2a,t∈[0,1],區(qū)間的中點為
,分-2a≤
以及-2a>
兩種情況,
分別根據(jù)最小值為-
,求得 a的值.
點評:本題主要考查復合三角函數(shù)的單調(diào)性,二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用,體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想,屬于中檔題.