Question

如圖，α-l-β為60°的二面角，等腰直角三角形MPN的直角頂點(diǎn)P在l上，M∈α，N∈β，且MP和NP與l所成的角相等，則MN與β所成角為

 

．

Answer 1

分析：作NA⊥α于A，MB⊥β于B，連接AP、PB、BN、AM，再作AC⊥l于C，BD⊥l于D，連接NC、MD，根據(jù)已知中α-l-β為60°的二面角，三角形PMN為等腰直角三角形，設(shè)∠MNB=θ，MN=

2

a，我們易得到△BPD∽△PNC，然后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)線段成比例，可以構(gòu)造關(guān)于θ方程，解方程即可同MN與β所成角．

解答：解：作NA⊥α于A，MB⊥β于B，連接AP、PB、BN、AM，
再作AC⊥l于C，BD⊥l于D，連接NC、MD．
設(shè)∠MNB=θ，MN=

2

a，則PB=PN=a，MB=NA=

2

asinθ，NB=

2

acosθ?，
∵M(jìn)B⊥β，BD⊥l，
∴MD⊥l，∴∠MDB是二面角α-l-β的平面角，
∴∠MDB=60°，同理∠NCA=60°，
∴BD=AC=

3

3

MB=

6

3

asinθ，CN=DM=

MB

6sin60°

=

2 6

3

asinθ，
∵M(jìn)B⊥β，MP⊥PN，∴BP⊥PN
∵∠BPN=90°，∠DPB=∠CNP，∴△BPD∽△PNC，∴

PC

PN

=

BD

PB

即

a2-CN2

a

=

DB

BN2-a2

∴

a2-( 2 6 a 3 sinθ)2

a

=

6 sinθ

3 ( 2 acosθ)2-a2

整理得，16sin⁴θ-16sin²θ+3=0
解得sin²θ=

1

4

或

3

4

，sinθ=

1

2

或

3

2

，
當(dāng)sinθ=

3

2

時(shí)，CN=

2 6

3

asinθ=

2

a＞PN不合理，舍去．
∴sinθ=

1

2

，
∴MN與β所成角為30°．
故答案為：30°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面所成的角，與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題，本題難度比較大，處理起來(lái)比較麻煩，其中作出輔助線后得到△BPD∽△PNC，進(jìn)而根據(jù)似三角形對(duì)應(yīng)線段成比例，構(gòu)造關(guān)于θ方程，是解答本題的關(guān)鍵．