Question

 已知，，點(diǎn)滿足，記點(diǎn)的軌跡為，直線過點(diǎn)且與軌跡交于、兩點(diǎn)．

    (1)無論直線繞點(diǎn)怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，在軸上總存在定點(diǎn)，使恒成立，求實(shí)數(shù)的值．

    (2)過、作直線的垂線、，垂足分別為、，記，求的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由知，點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，由，，∴，故軌跡的方程為：

（Ⅰ）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，，，與雙曲線方程聯(lián)立消得，

∴

解得

    

，∴

故得對任意的

恒成立，

∴，解得

∴當(dāng)時(shí)，

（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由，及知結(jié)論也成立，

綜上，當(dāng)時(shí)，

（2），，∴直線是雙曲線的右準(zhǔn)線，

由雙曲線定義得：，，

方法一：∴

          

，∴，故，

注意到直線的斜率不存在時(shí)，，此時(shí)，

綜上，.

方法二：設(shè)直線的傾斜角為，由于直線與雙曲線右支有二個(gè)交點(diǎn)，

∴，過作，垂足為，則

，

∴

由，得，

故.