Question

（2013•山東）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n且Tn+

an+1

2n

=λ（λ為常數(shù)）．令c_n=b_2n（n∈N^※）求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和R_n．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，由已知條件列關(guān)于首項(xiàng)和公差的方程組，解出首項(xiàng)和公差后可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）把{a_n}的通項(xiàng)公式代入Tn+

an+1

2n

=λ，求出當(dāng)n≥2時(shí)的通項(xiàng)公式，然后由c_n=b_2n得數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式，最后利用錯(cuò)位相減法求其前n項(xiàng)和．

解答：解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公差為d，由a_2n=2a_n+1，取n=1，得a₂=2a₁+1，即a₁-d+1=0①
再由S₄=4S₂，得4a1+

4×3d

2

=4(a1+a1+d)，即d=2a₁②
聯(lián)立①、②得a₁=1，d=2．
所以a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1；
（2）把a(bǔ)_n=2n-1代入Tn+

an+1

2n

=λ，得Tn+

2n

2n

=λ，則Tn=λ-

2n

2n

．
所以b₁=T₁=λ-1，
當(dāng)n≥2時(shí)，bn=Tn-Tn-1=(λ-

2n

2n

)-(λ-

2(n-1)

2n-1

)=

n-2

2n-1

．
所以bn=

n-2

2n-1

，cn=b2n=

2n-2

22n-1

=

n-1

4n-1

．
R_n=c₁+c₂+…+c_n=0+

1

41

+

2

42

+…+

n-1

4n-1

③

1

4

Rn=

1

42

+

2

43

+…+

n-1

4n

④
③-④得：

3

4

Rn=

1

4

+

1

42

+…+

1

4n-1

-

n-1

4n

=

1 4 (1- 1 4n-1 )

1- 1 4

-

n-1

4n

所以Rn=

4

9

(1-

3n+1

4n

)；
所以數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和Rn=

4

9

(1-

3n+1

4n

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了數(shù)列的求和，訓(xùn)練了錯(cuò)位相減法，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬中檔題．