Question

6．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在拋物線y²=2x上，定點(diǎn)A（m，0）（m＞0），求|PA|的最小值以及取最小值時(shí)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

Answer 1

分析 先設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），利用兩點(diǎn)間的距離公式求出點(diǎn)P與點(diǎn)A的距離的表達(dá)式；再結(jié)合二次函數(shù)在固定區(qū)間上的最值求法即可求出點(diǎn)P與點(diǎn)A的距離的最小值，并求得P點(diǎn)橫坐標(biāo)．

解答 解：設(shè)P（x，y），則$|PA|=\sqrt{（x-m）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}-2mx+{m}^{2}+2x}$=$\sqrt{{x}^{2}+（2-2m）x+{m}^{2}}$，x∈（0，+∞），
設(shè)函數(shù)g（x）=x²+（2-2m）x+m²，（x∈（0，+∞）），
其對(duì)稱軸方程為x=m-1，
當(dāng)m-1＜0，即m＜1時(shí)，
g（x）=x²+（2-2m）x+m²在x≥0時(shí)為增函數(shù)，
∴$|PA{|}_{min}=\sqrt{g（0）}=\sqrt{{m}^{2}}=m$，此時(shí)P的橫坐標(biāo)為0；
（2）當(dāng)m-1≥0即m≥1時(shí)，
g（x）=x²+（2-2m）x+m²（x≥0）在（0，m-1）上遞減，在（m-1，+∞）上遞增，
∴$|PA{|}_{min}=\sqrt{g（m-1）}$=$\sqrt{2m-1}$，此時(shí)P的橫坐標(biāo)為m-1．
綜上所述，當(dāng)m＜1，點(diǎn)P與點(diǎn)A的距離的最小值為m，P的橫坐標(biāo)為0；當(dāng)m≥1，點(diǎn)P與點(diǎn)A的距離的最小值為$\sqrt{2m-1}$，P的橫坐標(biāo)為m-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查二次函數(shù)在固定區(qū)間上的最值求法．在求二次函數(shù)在固定區(qū)間上的最值時(shí)，一定要注意分對(duì)稱軸在區(qū)間左邊，對(duì)稱軸在區(qū)間右邊以及對(duì)稱軸在區(qū)間中間三種情況來(lái)討論，此題是中檔題．