已知一條曲線C在y軸右側(cè),C上每一點到點F(1,0)的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1.
(1)求曲線C的方程;
(2)(文科做)已知點P是曲線C上一個動點,點Q是直線x+2y+5=0上一個動點,求|PQ|的最小值.
(理科做)是否存在正數(shù)m,對于過點M(m,0)且與曲線C有兩個交點A,B的任一直線,都有
FA
FB
<0
?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請說明理由.
分析:(1)設(shè)P(x,y)是曲線C上任意一點,由題意可知:C上每一點到點F(1,0)的距離與它到直線x=-1的距離相等,可知點P的軌跡是拋物線(去掉頂點).
(2))(文科)設(shè)點P(x,y),滿足y2=4x,則點P到直線x+2y+5=0的距離|PQ|=
|x+2y+5|
5
=
|
y2
4
+2y+5|
5
=
(y+4)2+4
4
5
,利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出;
(理科)設(shè)過點M(m,0)(m>0)的直線l與曲線C的交點為A(x1,y1),B(x2,y2).設(shè)l的方程為x=ty+m,與拋物線方程聯(lián)立可得關(guān)于y的一元二次方程,可知△>0,即根與系數(shù)的關(guān)系,由
FA
FB
<0
利用數(shù)量積運算并結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可得m2-6m+1<4t2.進(jìn)而求得m的取值范圍.
解答:解:(1)設(shè)P(x,y)是曲線C上任意一點,由題意可知:C上每一點到點F(1,0)的距離與它到直線x=-1的距離相等,點P的軌跡是拋物線(去掉頂點).
可得曲線C的方程為y2=4x(x>0).
(2)(文科)設(shè)點P(x,y),滿足y2=4x,
則點P到直線x+2y+5=0的距離|PQ|=
|x+2y+5|
5
=
|
y2
4
+2y+5|
5
=
(y+4)2+4
4
5
4
4
5
=
5
5
,
當(dāng)y=-4時最小,即|PQ|最小值為
5
5

(理科)設(shè)過點M(m,0)(m>0)的直線l與曲線C的交點為A(x1,y1),B(x2,y2).
設(shè)l的方程為x=ty+m,
x=ty+m
y2=4x
得y2-4ty-4m=0,△=16(t2+m)>0,且
y1+y2=4t
y1y2=-4m

FA
=(x1-1,y1),
FB
=(x2-1,y2)

FA
FB
<0
,
∴(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2<0②
x=
y2
4
,②式可化為
y
2
1
4
y
2
2
4
-(
y
2
1
4
+
y
2
2
4
)+1+y1y2<0

(y1y2)2
16
-
1
4
[(y1+y2)2-2y1y2]+1+y1y2<0

將①代入上式,得m2-6m+1<4t2
∵對任意實數(shù)t上式成立,
∴m2-6m+1<(4t2min,而(4t2min=0.
即m2-6m+1<0
3-2
2
<m<3+2
2

∴存在正數(shù)m,對于過點M(m,0)且與曲線C有兩個交點A,B的任一直線,都有
FA
FB
<0
,且m的取值范圍(3-2
2
,3+2
2
)
點評:本題綜合考查了拋物線的定義、直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到△>0及根與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)的單調(diào)性、恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化等基礎(chǔ)知識與基本技能方法,屬于難題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知一條曲線C在y軸右邊,C上每一點到點F(1,0)的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1.
(Ⅰ)求曲線C的方程
(Ⅱ)是否存在正數(shù)m,對于過點M(m,0)且與曲線C有兩個交點A,B的任一直線,都有
FA
FB
<0?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知一條曲線C在y軸右邊,C上每一點到點F(1,0)的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都等于1,
(1)求曲線C的方程;
(2)若過點M(-1,0)的直線與曲線C有兩個交點A,B,且FA⊥FB,求直線l的斜率.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知一條曲線C在y軸右邊,C上任意一點到點F1(2,0)的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是2.
(1)求曲線C的方程;
(2)若雙曲線M:x2-
y2
t
=1(t>0)的一個焦點為F1,另一個焦點為2,過F2的直線l與M相交于A、B兩點,直線l的法向量為
n
=(k,-1)(k>0),且
OA
OB
=0,求k的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•臨沂一模)已知一條曲線C在y軸右邊,C上每一點到點F(1,0)的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1.
(1)求曲線C的方程;
(2)設(shè)n是過原點的直線,l是與n垂直相交于點P,且與曲線C相交于A、B兩點的直線,且|
.
OP
|=1
,問:是否存在上述直線l使
.
AP
.
PB
=1
成立?若存在,求出直線l的方程,若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案