Question

如圖，若平面α⊥β，α∩β=CD，A∈α、B∈β，直線AB與α、β所成的角分別是30°、60°，則直線AB與CD所成角的大小為

1. A.
   60°
2. B.
   45°
3. C.
   30°
4. D.
   90°

Answer 1

D
分析：如果空間想象能力較強(qiáng)，注意到30°、60°、90°三角的關(guān)系，可以果斷判斷AB與CD垂直，如果按常規(guī)作法，需要先作出線AB與CD所成角的平面角，再計(jì)算，在這個(gè)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)只有當(dāng)AB與CD垂直時(shí)才能得結(jié)果，從而作出判斷
解答：如圖作BF⊥CD，AE⊥CD，AG∥EF，AG=EF，連接BE，F(xiàn)G，AF
∵平面α⊥β，∴AE⊥α，BF⊥β
∵直線AB與α、β所成的角分別是30°、60°
∴∠ABE=30°，∠BAF=60°，
設(shè)AB=2，則AE=1，AF=1，
∵△AEF為直角三角形，
∴E、F兩點(diǎn)重合
∴CD⊥平面ABE（F），AB?平面ABE（F），
∴CD⊥AB
即線AB與CD所成角的大小為90°
故選D
點(diǎn)評(píng)：本題考察了空間想象能力，空間線面角的作法，面面垂直的性質(zhì)定理等知識(shí)，考查了同一性的思想，判斷推理的能力