Question

（2012•福州模擬）設(shè)函數(shù)f（x）=

1+(-1)x

2

 （x∈Z）．給出以下三個判斷：①f（x）為偶函數(shù)；②f（x）為周期函數(shù)；③f（x+1）+f（x）=1．
其中正確判斷的序號是

①②③

（填寫所有正確判斷的序號）．

Answer 1

分析：由題意可得，f（x）=

1+(-1)x

2

=

1， x為偶數(shù) 0，x為奇數(shù)

，檢驗f（-x）=f（x），即可判斷①
由于f（x）的函數(shù)值是1，0交替出現(xiàn)，故函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù)，可判斷②
由于x+1，x中必定一個是奇數(shù)，一個是偶數(shù)，則f（x+1）與f（x）的值一個是1，一個是0，可判斷③

解答：解：∵f（x）=

1+(-1)x

2

=

1， x為偶數(shù) 0，x為奇數(shù)

∴f（-x）=

1+(-1)-x

2

=

1+ 1 (-1)x

2

=

1，x為偶數(shù) 0，x為奇數(shù)

=f（x），故f（x）為偶函數(shù)，①正確
由于f（x）的函數(shù)值是1，0交替出現(xiàn)，故函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù)，②正確
由于x+1，x中必定一個是奇數(shù)，一個是偶數(shù)，則f（x+1）與f（x）的值一個是1，一個是0，則f（x+1）+f（x）=1，③正確
故答案為：①②③

點評：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性的定義、周期性的定義的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是對已知函數(shù)的化簡