Question

設a∈R，f（x）=為奇函數(shù)．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）設g（x）=2log₂（），若不等式f^-1（x）≤g（x）在區(qū)間[，]上恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

解：（1）f（x）==a-
由f（x）是奇函數(shù)，可得f（-x）=-f（x），
∴
∴
∴2a=a+a^-2
∴a=1，
∴f（x）=
（2）由y=f（x）=可得，∴，∴f^-1（x）=，
不等式f^-1（x）≤g（x）在區(qū)間[，]上恒成立，即≤2log₂（）恒成立，
即恒成立
即k²≤1-x²在區(qū)間[，]上恒成立，
∵y=1-x²在區(qū)間[，]上單調(diào)遞減
∴
∴
∴．
分析：（1）f（x）==a-，由f（x）是奇函數(shù)，可得f（-x）=-f（x），代入化簡可求實數(shù)a的值；
（2）由y=f（x）=可得f^-1（x）=，不等式f^-1（x）≤g（x）在區(qū)間[，]上恒成立，即≤2log₂（）恒成立，即k²≤1-x²在區(qū)間[，]上恒成立，求出右邊函數(shù)的最小值，即可求實數(shù)k的取值范圍．
點評：本題考查函數(shù)的奇偶性，考查反函數(shù)，考查恒成立問題，解題的關(guān)鍵是分離參數(shù)，確定函數(shù)的最值，屬于中檔題．