Question

已知點(diǎn)A、B在

x2

3

+y²=1上，若

F1A

=5

F2B

，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：聯(lián)立消去x得：（t²+3）y²+2

2

ty-1=0根據(jù)韋達(dá)定理得出y₁+y₂=

-2 2 t

t2+3

（1）
y₁•y₂=-

1

t2+3

（2），再結(jié)合向量求解即可．

解答： 解：橢圓焦點(diǎn)F₁（-

2

，0）F₂（√

2

，0）；
AB：x=ty+

2

與

x2

3

+y²=1即：（t²+3）y²+2

2

ty-1=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
y₁+y₂=

-2 2 t

t2+3

（1）
y₁•y₂=-

1

t2+3

（2）
∵向量

F1A

=5

F2B

，
∴y₁=-5y₂ 代入（1）（2）：
-4y₂=-

2 2 t

t2+3

（3）
-5

y

2 2

=-

1

t2+3

（4）
（3）式平方除以（4）：t²=2，t=±

2

y₂=

1

5

或，y₂=-

1

5

∴y₁=-1，x₁=0
或 y₁=1，x₁=0
∴A（0，-1）或A（0，1）
故答案為：A（0，-1）或A（0，1）

點(diǎn)評(píng)：本題考察了橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，方程的運(yùn)用，韋達(dá)定理，屬于綜合題，難度較大．