設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）是函數(shù)f(x)=
1
2
+log2
x
1-x
的圖象上滿足下面條件的任意兩點(diǎn)．若
OM
=
1
2
(
OA
+
OB
)，則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為
1
2
．
（1）求證：M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定植；
（2）若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)，求Sn（n≥2，n∈N*）．
（3）已知an=
2
3
(n=1)
1
(Sn+1)(Sn+1+1)
(n≥2)
，（其中n∈N*，又知Tn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若Tn＜（15）λ（Sn+1+1）對(duì)于一切n∈N*．都成立，試求λ的取值范圍．
分析：（1）由
OM
=
1
2
(
OA
+
OB
)則M是AB中點(diǎn)，再由其橫坐標(biāo)為
1
2
建立等式
1
2
(x1+x2)=x=
1
2
，得到x1+x2=1，再由y=
1
2
(y1+y2)
轉(zhuǎn)化為y=
1
2
[f(x1)+f(x2)]用x的關(guān)系來(lái)探究．
（2）由（1）知，x1+x2=1，f（x1）+f（x2）=y1+y2=1，即：Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)++f(
n-1
n
)，Sn=f(
n-1
n
)+f(
n-2
n
)++f(
1
n
)，兩式相加求解．
（3）當(dāng)n=1時(shí)，Tn=a1=
2
3
，Sn+1+1=S2+1=
3
2
，由Tn＜λ（Sn+1+1），得
3
2
＜
3
2
λ，得λ＞
4
9
．
當(dāng)n≥2時(shí)，an=
1
(Sn+1)(Sn+1+1)
=
4
(n+1)(n+2)
=4(
1
n+1
-
1
n+2
)用裂項(xiàng)法求得Tn，
由Tn＜λ（Sn+1+1）求解．
解答：解：（1）∵
OM
=
1
2
(
OA
+
OB
)∴M是AB中點(diǎn)，設(shè)M為（x，y）
由
1
2
(x1+x2)=x=
1
2
，得x1+x2=1，∴x1=1-x2或x2=1-x1
∴y=
1
2
(y1+y2)
=
1
2
[f(x1)+f(x2)]
=
1
2
(
1
2
+log2
x
1-x1
+
1
2
+log2
x2
1-x2
)
=
1
2
(1+log2
x1
1-x1
+log2
x2
1-x2
)
=
1
2
(1+log2[
x1
1-x1
•
x2
1-x2
]
=
1
2
(1+log2
x1
x2
•
x2
x1
)=
1
2

∴M點(diǎn)的縱坐標(biāo)的定值為
1
2


（2）由（1）知，x1+x2=1，
則f（x1）+f（x2）=y1+y2=1，
Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)，Sn=f(
n-1
n
)+f(
n-2
n
)+…+f(
1
n
)，
上述兩式相加，得
2Sn=[f(
1
n
)+f(
n-1
n
)]+[f(
2
n
)+f(
n-2
n
)]+…+[f(
n-1
n
)+f(
1
n
)]
=1+1+…+1
∴Sn=
n-1
2
(n≥2，n∈N*)

（3）當(dāng)n=1時(shí)，Tn=a1=
2
3
，Sn+1+1=S2+1=
3
2
，
由Tn＜λ（Sn+1+1），得
2
3
＜
3
2
λ，得λ＞
4
9
．
當(dāng)n≥2時(shí)，an=
1
(Sn+1)(Sn+1+1)
=
4
(n+1)(n+2)
=4(
1
n+1
-
1
n+2
)
∴Tn=a1+a2+…+an=
2
3
+4(
1
3
-
1
n+2
)=
2n
n+2

由Tn＜λ（Sn+1+1），得
2n
n+2
＜λ
n+2
n
，
∴λ＞
4n
(n+2)2
=
4n
n2+4n+4
=
4
n+
4
n
+4
，
∵
4
n+
4
n
+4
≤
4
4+4
=
1
2
，（當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí)，=成立）∴λ＞
1
2
．
綜上所述，若對(duì)一切n∈N*．都有Tn＜λ（Sn+1+1）成立，由于
4
9
＜
1
2
，所以λ＞
1
2
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查中點(diǎn)的向量表示及函數(shù)值求解，還考查了用裂項(xiàng)法求數(shù)列前n項(xiàng)和，構(gòu)造數(shù)列不等式恒成立問(wèn)題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線C：x2=4y的焦點(diǎn)為F，直線l過(guò)點(diǎn)F交拋物線C于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），求
1
y1
+
1
y2
的取值范圍；
（Ⅱ）是否存在定點(diǎn)Q，使得無(wú)論AB怎樣運(yùn)動(dòng)都有∠AQF=∠BQF？證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）是函數(shù)f(x)=
1
2
+log2
x
1-x
的圖象上兩點(diǎn)，且
OM
=
1
2
(
OA
+
OB
)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為
1
2
．
（Ⅰ）求證：點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為定值；
（Ⅱ）定義定義Sn=
n-1
i=1
f(
i
n
)=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)，其中n∈N*且n≥2，求S2011；
（Ⅲ）對(duì)于（Ⅱ）中的Sn，設(shè)an=
1
2Sn+1
(n∈N*)．若對(duì)于任意n∈N*，不等式kan3-3an2+1＞0恒成立，試求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）是橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)上的兩點(diǎn)，已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的離心率e=
3
2
，短軸長(zhǎng)為2，且
m
=(
x1
b
，
y1
a
)，
n
=(
x2
b
，
y2
a
)，若
m
•
n
=0．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線AB過(guò)橢圓的焦點(diǎn)F（0，c）（c為半焦距），求△AOB的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）是函數(shù)f（x）=
1
2
+log2
x
1-x
圖象上任意兩點(diǎn)，且
OM
=
1
2
（
OA
+
OB
），已知點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為
1
2
，且有Sn=f（
1
n
）+f（
2
n
）+…+f（
n-1
n
），其中n∈N*且n≥2，
（1）求點(diǎn)M的縱坐標(biāo)值；
（2）求s2，s3，s4及Sn；
（3）已知an=
1
(Sn+1)(Sn+1+1)
，其中n∈N*，且Tn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若Tn≤λ（Sn+1+1）對(duì)一切n∈N*都成立，試求λ的最小正整數(shù)值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）是拋物線y=x2上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中x3＞x2≥0，△ABC是以B為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形．
（1）求證：直線BC的斜率等于x2+x3，也等于
x2-x1x3-x2
；
（2）求A、C兩點(diǎn)之間距離的最小值．

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同步練習(xí)冊(cè)答案