Question

已知命題p：f（x）=

1-a•3x

在x∈（-∞，0]上恒有意義，命題 q：存在x₀∈（1，3]，使得不等式

1-a•log3x0

≥2成立，若“p且q”為真命題，則實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：復合命題的真假

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,簡易邏輯

分析：f（x）=

1-a•3x

在x∈（-∞，0]上恒有意義，即1-a•3^x≥0在x∈（-∞，0]上恒成立，所以a≤(

1

3

)x在（-∞，0]上恒成立，所以a≤((

1

3

)x)min=1，即命題p：a≤1．存在x₀∈（1，3]，使得不等式

1-a•log3x0

≥2成立，即關于x₀的不等式組

1-a•log3x0≥0 1-a•log3x0≥4

在（1，3]上有解，由不等式組得a≤

-3

log3x0

在（1，3]上有解，而

-3

log3x0

≤-3，所以a≤-3，即命題q：a≤-3，而根據(jù)p且q為真命題知p，q都是真命題，所以求命題p，q下的a的取值范圍的交集即可．

解答： 解：命題p：1-a•3^x≥0在（-∞，0]上恒成立，即a≤3^-x在（-∞，0]上恒成立；
3^-x在（-∞，0]上是減函數(shù)，所以3^-x的最小值是3⁰=1，∴a≤1；
命題q：∵x₀∈（1，3]時，log₃x₀＞0，∴由

1-a•log3x0≥0 1-a•log3x0≥4

得，a≤

-3

log3x0

在（1，3]上有解，函數(shù)

-3

log3x0

在（1，3]上是增函數(shù)，∴

-3

log3x0

≤

-3

log33

=-3，∴a≤-3；
若“p且q”為真命題，則p，q都為真命題，∴a≤1，且a≤-3，∴a≤-3；
∴實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-3]．
故答案為：（-∞，-3]．

點評：考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)單調(diào)性的定義，以及p且q的真假和p，q真假的關系．