證明:(1)假設(shè)b-a>1,則b>a+1,
取a=0,由b>1,
∵f(2-x)=f(2+x),∴f(4-b)=f(b),
又函數(shù)f(x)(x∈R)的最小正周期為2,
∴f(4-b)=f(2-b)
∴f(2-b)=f(b)
而區(qū)間[0,b]是f(x)的一個單調(diào)區(qū)間,?f(2-b)≠f(b),
這與f(2-b)=f(b)矛盾,故假設(shè)不成立,
∴b-a≤1;
解:(2)∵對任意x<0,都有f(2
x)>f(2)=f(0),
其中0<2
x<1,
∴區(qū)間[0,1]為f(x)的一個單調(diào)增區(qū)間,
∵函數(shù)f(x)(x∈R)的最小正周期為2,
∴f(2-x)=f(-x),f(x)=f(2+x),
且對任意實數(shù)x,f(2-x)=f(2+x),
∴f(-x)=f(x),函數(shù)f(x)是偶函數(shù),
∵區(qū)間[0,1]為f(x)的一個單調(diào)增區(qū)間,根據(jù)偶函數(shù)的對稱性得:
區(qū)間[-1,0]為f(x)的一個單調(diào)減區(qū)間,
根據(jù)函數(shù)的周期性得:區(qū)間[1,2]為f(x)的一個單調(diào)減區(qū)間,
又不等式f(-10.5)>f(x
2+6x)可化成:
f(1.5)>f(x
2+6x).
在一個周期長的區(qū)間[0,2)上考慮此不等式的解,有:
0≤x
2+6x≤
或
≤x
2+6x<2,
解之得:
≤x≤-6或0≤x≤
;或-3-
<x≤
或
≤x<-3+
.
根據(jù)函數(shù)的周期性得:
不等式f(-10.5)>f(x
2+6x)在R上的解是:
+2k≤x≤-6+2k或+2k≤x≤
+2k;或-3-
+2k<x≤
+2k或
+2k≤x<-3+
+2k.k∈Z.
分析:(1)利用反證法證明.先假設(shè)b-a>1,則b>a+1,對a取特殊值,取a=0,結(jié)合條件f(2-x)=f(2+x),∴f(4-b)=f(b),又函數(shù)f(x)(x∈R)的最小正周期為2,得出f(2-b)=f(b),而區(qū)間[0,b]是f(x)的一個單調(diào)區(qū)間,這與f(2-b)=f(b)矛盾,故假設(shè)不成立,從而結(jié)論得到證明;
(2)先由f(2
x)>f(2)=f(0),得出區(qū)間[0,1]為f(x)的一個單調(diào)增區(qū)間,再利用對稱性及周期性得出函數(shù)f(x)是偶函數(shù),從而得到區(qū)間[1,2]為f(x)的一個單調(diào)減區(qū)間,再化簡不等式f(-10.5)>f(x
2+6x),最后在一個周期 長的區(qū)間[0,2]上考慮此不等式的解根據(jù)函數(shù)的周期性得不等式f(-10.5)>f(x
2+6x)在R上的解即可.
點評:本小題主要考查函數(shù)的周期性、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.屬于難題.