Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax²-x，a∈R．
（1）若函數(shù)y=f（x）在其定義域內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若函數(shù)y=f（x）的圖象被點(diǎn)P（2，f（2））分成的兩部分為c₁，c₂，（點(diǎn)P除外），該函數(shù)圖象在點(diǎn)P處的切線為l，求證：當(dāng)a=-

1

8

時(shí)，c₁，c₂分別完全位于直線l的兩側(cè)．
（3）試確定a的取值范圍，使得曲線y=f（x）上存在唯一的點(diǎn)P，曲線在該點(diǎn)處的切線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)P．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求出函數(shù)的定義域，再利用求導(dǎo)公式求出導(dǎo)數(shù)并化簡(jiǎn)，將條件轉(zhuǎn)化為“2ax²+x-1≤0對(duì)任意的x＞0恒成立”，分離出常數(shù)a，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出a的取值范圍；
（2）依題意可求得f（x）在點(diǎn)x=2處的切線l方程，由題意設(shè)g(x)=lnx+

1

8

x2-x-(ln2-

3

2

)，得到g（2）=0，求出導(dǎo)數(shù)研究它的單調(diào)性，再判斷出函數(shù)值與g（2）=0的關(guān)系，即可得到證明；
（3）設(shè)切點(diǎn)P（x₀，f（x₀）），并判斷出x₀＞0，再求出在點(diǎn)P處的切線方程，根據(jù)題意設(shè)g（x）=f（x）-[f′（x₀）（x-x₀）+f（x₀）]，并有切點(diǎn)的性質(zhì)得g（x₀）=0，由（1）求出g′（x）化簡(jiǎn)后求出臨界點(diǎn)，對(duì)a進(jìn)行分類討論，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷出方程g（x）=0的根的個(gè)數(shù)，當(dāng)a＜0時(shí)需要對(duì)g（x）進(jìn)行二次求導(dǎo)，并對(duì)x₀進(jìn)行分類討論，根據(jù)g（x）的單調(diào)性，逐一探究方程g（x）=0的根的個(gè)數(shù)．

解答： 解：（1）由題意得，函數(shù)的定義域是（0，+∞）
f′(x)=

1

x

-2ax-1=-

2ax2+x-1

x

(x＞0)，------------（2分）
只需要2ax²+x-1≤0，即2a≤

1

x2

-

1

x

=(

1

x

-

1

2

)2-

1

4

，
解得，a≤-

1

8

．---------------------------------------（4分）
（2）證明：把a(bǔ)=-

1

8

代入得，數(shù)f（x）=lnx+

1

8

x²-x，
∴f′(x)=

1

x

+

1

4

x-1，且f′（2）=0，f（2）=ln2-

3

2

，
∴切線l的方程為y=ln2-

3

2

．--------------------------------------------（6分）
令g(x)=lnx+

1

8

x2-x-(ln2-

3

2

)，則g（2）=0．
∵g′(x)=

1

x

+

1

4

x-1=

( x 2 -1)2

x

≥0，---------------------------------（8分）
∴g（x）是單調(diào)增函數(shù)，
當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，g（x）＞g（2）=0；
當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，g（x）＜g（2）=0，
∴c₁，c₂分別完全位于直線l的兩側(cè)．--------------------------（10分）
（3）設(shè)切點(diǎn)P（x₀，f（x₀）），由函數(shù)的定義域知x₀＞0，
則曲線y=f（x）在點(diǎn)P處的切線為l：y=f′（x₀）（x-x₀）+f（x₀），
令g（x）=f（x）-[f′（x₀）（x-x₀）+f（x₀）]，
∵切點(diǎn)P在切線l上，也在曲線上，∴g（x₀）=0，
∵g′（x）=f′（x）-f′（x₀），f′(x)=

1

x

-2ax-1（x＞0），
∴g′(x)=

1

x

-2ax-(

1

x0

-2ax0)，
則g′(x)=-

(x-x0)(2ax0x+1)

x0x

，且g′（x₀）=0，
①當(dāng)a≥0時(shí)，?x∈（0，x₀），g'（x）＞0；?x∈（x₀+∞），g'（x）＜0，
∴g（x）在（0，x₀）上單調(diào)遞增，在（x₀，+∞）上單調(diào)遞減，
∴g（x）=0只有唯一解x₀，而x₀是任意選取的值，故不滿足題意；----（12分）
②當(dāng)a＜0時(shí)，g″(x)=f″(x)=-

1

x2

-2a，記g″(m)=-

1

m2

-2a=0，則m=

- 1 2a

．
（i）若x₀=m，則g'（x）在（0，x₀）上單調(diào)遞減，在（x₀，+∞）上單調(diào)遞增，
g'（x）≥g'（x₀）=0，
∴g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，∴g（x）=0只有唯一解x=

- 1 2a

，
（ii）若x₀＜m，則?（0，m），g''（x）＜0；?（m，+∞），g''（x）＞0，
∴g'（x）在（0，m）上單調(diào)遞減，在（m，+∞）上單調(diào)遞增
此時(shí)存在x₁∈（m，+∞），使得g'（x₁）=0，
∴?（0，x₀）∪（x₁，+∞），g'（x）＞0；?（x₀，x₁），g'（x₁）＜0，
∴g'（x）在（0，x₀）和（x₁，+∞）上單調(diào)遞增，在（x₀，x₁）上單調(diào)遞減，
此時(shí)存在x₂∈（x₁，+∞），使得g（x₂）=0，∴g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)．
（iii）若x₀＞m，
則?（0，m），g''（x）＜0；?（m，+∞），g''（x）＞0，
∴g'（x）在（0，m）上單調(diào)遞減，在（m，+∞）上單調(diào)遞增
此時(shí)存在x₁∈（0，m），使得g'（x₁）=0，
∴?（0，x₁）∪（x₀，+∞），g'（x）＞0；?（x₁，x₀），g'（x₁）＜0，
∴g'（x）在（0，x₁）和（x₀，+∞）上單調(diào)遞增，在（x₁，x₀）上單調(diào)遞減
此時(shí)存在x₂∈（0，x₁），使得g（x₂）=0，∴g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)．
綜上所述，當(dāng)a＜0時(shí)，曲線y=f（x）上存在唯一的點(diǎn)P(

- 1 2a

，f(

- 1 2a

))，
曲線在該點(diǎn)處的切線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)P．----------------------------（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值，導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及圖象問題，體現(xiàn)了分類討論和轉(zhuǎn)化的思想方法．考查了構(gòu)造法和二次求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，以及學(xué)生觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力，綜合性較強(qiáng)，計(jì)算量大，難度較大，對(duì)能力要求較高．