Question

（2011•江西模擬）已知數(shù)列{a_n}，{b_n}分別是等差、等比數(shù)列，且a₁=b₁=1，a₂=b₂，a₄=b₃≠b₄．
①求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
②設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，求{

1

Sn

}的前n項和T_n；
③設(shè)C_n=

anbn

Sn+1

（n∈N），R_n=C₁+C₂+…+C_n，求R_n．

Answer 1

分析：①直接利用a₁=b₁=1，a₂=b₂，a₄=b₃≠b₄．求出公差d和公比q，即可求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
②直接代入等差數(shù)列的求和公式得S_n，再利用裂項相消求和法求{

1

Sn

}的前n項和T_n；
③先對C_n進行整理，再利用裂項相消求和法即可求R_n．

解答：解：①設(shè){a_n}的公差為d，{b_n}的公比為q，則依題意

1+d=q 1+3d=q2 q≠1

⇒

q=2 d=1

∴a_n=1+（n-1）×1=n；
b_n=1×2^n-1=2^n-1．（4分）
②∵s_n=

n(n+1)

2

⇒

1

sn

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

）．
∴T_n=

1

s1

+

1

s2

+…+

1

sn

=2[（

1

1

-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]
=2（1-

1

n+1

）
=

2n

n+1

．（8分）
③∵C_n=

n•2n-1

(n+1)(n+2) 2

=

n•2n

(n+1)(n+2)

=

2n+1

n+2

-

2n

n+1

．
∴R_n=C₁+C₂+…+C_n
=（

22

3

-

21

2

）+（

23

4

-

22

3

）+…+（

2n+1

n+2

-

2n

n+1

）
=

2n+1

n+2

-1．

點評：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識以及數(shù)列求和的裂項相消求和法，是對基礎(chǔ)知識的綜合考查，屬于中檔題．本題的難點在與第三問的裂項．