Question

在△ABC中，角A、B、C為其內(nèi)角，若

1

tanA

，

1

tanB

，

1

tanC

依次成等差數(shù)列，則角B的最大值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,解三角形

分析：運(yùn)用切化弦，結(jié)合兩角和的正弦公式和誘導(dǎo)公式，再由正弦定理和余弦定理，得到a²+c²-b²=b²，再由余弦定理和基本不等式，即可得到最大值．

解答： 解：若

1

tanA

，

1

tanB

，

1

tanC

依次成等差數(shù)列，
則

2

tanB

=

1

tanA

+

1

tanC

=

cosA

sinA

+

cosC

sinC

=

sinCcosA+cosCsinA

sinAsinC

=

sin(A+C)

sinAsinC

=

sinB

sinAsinC

，
即有

2cosB

sinB

=

sinB

sinAsinC

，即2cosB=

sin2B

sinAsinC

，
由正弦定理可得，2cosB=

b2

ac

，
再由余弦定理可得，a²+c²-b²=b²，
即有cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

b2

2ac

，
由于a²+c²≥2ac，即b²≥ac，
即有cosB≥

1

2

，由于0＜B＜π，
即有B≤

π

3

．
B的最大值為

π

3

．
故答案為：

π

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查同角的商數(shù)關(guān)系及誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式，考查正弦定理和余弦定理的運(yùn)用，考查基本不等式運(yùn)用求最值，屬于中檔題．