設(shè)函數(shù)f(x)=x2-alnx與的圖象分別交直線x=1于點A,B,且曲線y=f(x)在點A處的切線與曲線y=g(x)在點B處的切線平行(斜率相等).
(1)求函數(shù)f(x),g(x)的表達式;
(2)當(dāng)a>1時,求函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)的最小值;
(3)當(dāng)a<1時,不等式f(x)≥m•g(x)在上恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
【答案】分析:(1)求出函數(shù)f(x)和g(x)的導(dǎo)函數(shù)并求出它們在x=1的導(dǎo)數(shù)值,由導(dǎo)數(shù)值相等求出a的值則兩個函數(shù)的解析式可求;
(2)把a=2代入兩個函數(shù)解析式,求出函數(shù)h(x),求導(dǎo)后把導(dǎo)函數(shù)進行因式分解,然后由x=1對定義域分段,求出導(dǎo)函數(shù)在兩段內(nèi)的符號,判出單調(diào)性,從而求得函數(shù)h(x)的最小值;
(3)把a=分別代入函數(shù)f(x)和g(x)的解析式,分別求出導(dǎo)函數(shù)后判斷各自導(dǎo)函數(shù)在上的符號,由導(dǎo)函數(shù)的符號得到原函數(shù)的單調(diào)性,進一步得到函數(shù)f(x)在上的最小值和函數(shù)g(x)在上的最大值,把不等式f(x)≥m•g(x)分離參數(shù)m后求出的最小值,則實數(shù)m的取值范圍可求.
解答:解:(1)由f(x)=x2-alnx,得,所以f(1)=2-a.
,得,所以
又由題意可得f'(1)=g'(1),
,故a=2,或
所以當(dāng)a=2時,f(x)=x2-2lnx,;
當(dāng)時,,
(2)當(dāng)a>1時,a=2,
函數(shù)h(x)的定義域為(0,+∞).

=
由x>0,得
故當(dāng)x∈(0,1)時,h'(x)<0,h(x)遞減,
當(dāng)x∈(1,+∞)時,h'(x)>0,h(x)遞增,
所以函數(shù)h(x)在(0,+∞)上的最小值為
(3)因為a<1,所以,此時,,
當(dāng)時,由,得
f(x)在上為減函數(shù),
當(dāng)時,由,得,
g(x)在上為增函數(shù),,且
要使不等式f(x)≥m•g(x)在上恒成立,當(dāng)時,m為任意實數(shù);
當(dāng)時,不等式f(x)≥m•g(x)化為,

所以
所以當(dāng)a<1時,不等式f(x)≥m•g(x)在上恒成立的實數(shù)m的取值范圍為
點評:本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點的切線方程,考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,訓(xùn)練了利用分離變量求參數(shù)的取值范圍,考查了學(xué)生的運算能力,在分類討論時,此題對細節(jié)的分類要求較高,屬難度較大的題目.
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1x+1
).
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設(shè)函數(shù)f(x)=x2-mlnx,h(x)=x2-x+a.
(1)若曲線y=f(x)在x=1處的切線為y=x,求實數(shù)m的值;
(2)當(dāng)m=2時,若方程f(x)-h(x)=0在[1,3]上恰好有兩個不同的實數(shù)解,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)是否存在實數(shù)m,使函數(shù)f(x)和函數(shù)h(x)在公共定義域上具有相同的單調(diào)性?若存在,求出m的值,若不存在,說明理由.

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設(shè)函數(shù)f(x)=x2+x+aln(x+1),其中a≠0.
(1)若a=-6,求f(x)在[0,3]上的最值;
(2)若f(x)在定義域內(nèi)既有極大值又有極小值,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)求證:不等式ln
n+1
n
n-1
n3
(n∈N*)恒成立.

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