Question

（2008•浦東新區(qū)二模）已知等差數(shù)列{x_n}，S_n是{x_n}的前n項(xiàng)和，且x₃=5，S₅+x₅=34．
（1）求{x_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)an=(

1

3

)n，T_n是{a_n}的前n項(xiàng)和，方程S_n+T_n=2008是否有解？說明理由；
（3）是否存在正數(shù)λ，對任意的正整數(shù)n，不等式λx_n-4S_n＜228恒成立？若存在，求出λ的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由x₃=5，S₅+x₅=34，能推導(dǎo)出x₁=1，d=2，由此能求出{x_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由an=(

1

3

)n，知Tn=

1 3 [1-( 1 3 )n]

1- 1 3

=

1

2

[1-(

1

3

)n]，所以Sn=

(1+2n-1)

2

•n=n2，則方程S_n+T_n=2008為：n2+

1

2

[1-(

1

3

)n]=2008．由此能導(dǎo)出方程S_n+T_n=2008無解．
（3）λ（2n-1）-4n²＜228，λ＜

4n2+228

2n-1

．由于2n-1+

225

2n-1

≥30，所以0＜λ＜28．

解答：解：（1）由x₃=5，S₅+x₅=34，
所以

x1+2d=5 6x1+14d=34

⇒

x1=1 d=2

⇒xn=2n-1------------------------------------------（4分）
（2）an=(

1

3

)n，則Tn=

1 3 [1-( 1 3 )n]

1- 1 3

=

1

2

[1-(

1

3

)n]---（5分）  Sn=

(1+2n-1)

2

•n=n2--（6分）
則方程S_n+T_n=2008為：n2+

1

2

[1-(

1

3

)n]=2008
令：f(n)=n2+

1

2

[1-(

1

3

)n]，則f（n）單調(diào)遞增----------------------------------------（8分）
當(dāng)n≤44時，f(n)≤442+

1

2

[1-(

1

3

)44]＜1936+1=1937
當(dāng)n≥45時，f(n)≥452+

1

2

[1-(

1

3

)45]＞2025所以方程無解．---------------（10分）
（3）λ（2n-1）-4n²＜228，λ＜

4n2+228

2n-1

-------------------------------------------（12分）
即λ＜2n-1+

225

2n-1

-2----------------------------------------------------------------（14分），
由于2n-1+

225

2n-1

≥30，所以0＜λ＜28--------------------------------------------（16分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列與不等式的綜合運(yùn)用，解題時要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．