Question

20．以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知圓O的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}cosα}\\{y=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}sinα}\end{array}\right.$和直線l的極坐標(biāo)方程是ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（Ⅰ）求圓O和直線l的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）求直線l與圓O公共點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先把圓的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，進(jìn)一步把標(biāo)準(zhǔn)形式轉(zhuǎn)化為一般式，再把直線的極坐標(biāo)形式轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)的形式．
（Ⅱ）利用兩個(gè)方程建立方程組，解出交點(diǎn)坐標(biāo)，最后把直角坐標(biāo)形式轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)的形式．

解答 解：（Ⅰ）圓O的參數(shù)方程可以化為：$\left\{\begin{array}{l}x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}cosα\\ y-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}sinα\end{array}\right.$，
所以圓O的直角坐標(biāo)方程是：$（x-\frac{1}{2}）^{2}+（y-\frac{1}{2}）^{2}=\frac{1}{2}$．
轉(zhuǎn)化為：x²+y²-x-y=0
直線l的極坐標(biāo)方程可以化為：$\begin{array}{c}\frac{\sqrt{2}}{2}ρsinθ-\frac{\sqrt{2}}{2}ρcosθ=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right.$，
所以直線l的直角坐標(biāo)方程為：x-y+1=0；
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}+{y}^{2}-x-y=0\\ x-y+1=0\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=1\end{array}\right.$，

故直線l與圓O公共點(diǎn)為（0，1），該點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo)為（1，$\frac{π}{2}$）．

點(diǎn)評 本題考查的知識要點(diǎn)：極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，直線與圓的位置關(guān)系，解方程組的應(yīng)用，點(diǎn)的直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的互化，主要考查學(xué)生的應(yīng)用能力．