Question

【題目】如圖所示的矩形中， ，點(diǎn)為邊上異于， 兩點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，且， 為線段的中點(diǎn)，現(xiàn)沿將四邊形折起，使得與的夾角為，連接， .

（1）探究：在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面，若存在，說明點(diǎn)的位置，若不存在，請(qǐng)說明理由；

（2）求三棱錐的體積的最大值，并計(jì)算此時(shí)的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】（1）見解析．（2）見解析.

【解析】試題分析：(1) 取線段EF的中點(diǎn)M，易證GM∥DF ，從而得到GM∥平面BDF；(2) 因?yàn)?/span>CF∥DE，且AE與CF的夾角為60°，故AE與DE的夾角為60°，利用等體積法表示體積，進(jìn)而得到體積的最大值，及此時(shí)DE的長(zhǎng)度.

試題解析：

(1)如圖所示，取線段EF的中點(diǎn)M，下證GM∥平面BDF；

因?yàn)?/span>G為線段ED中點(diǎn)，M為線段EF的中點(diǎn)，

故GM為△EDF的中位線，故GM∥DF，

又GM平面BDF，DF平面BDF，故GM∥平面BDF；

(2)因?yàn)?/span>CF∥DE，且AE與CF的夾角為60°，

故AE與DE的夾角為60°，

過D作DP垂直于AE交AE于P，

因?yàn)?/span>DE⊥EF，AE⊥EF，故DP為點(diǎn)D到平面ABFE的距離，

設(shè)DE＝x，則AE＝BF＝4－x，

由①知GM∥DF，

故VG－BDF＝VM－BDF＝VD－MBF＝·S△MBF·DP＝××x

＝·x≤，

當(dāng)且僅當(dāng)4－x＝x時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)x＝DE＝2，

故三棱錐G－BDF的體積最大值為，此時(shí)DE的長(zhǎng)度為2.