Question

已知周長(zhǎng)為定值的扇形OAB，當(dāng)其面積最大時(shí)，向其內(nèi)任意擲點(diǎn)，則點(diǎn)落在△OAB內(nèi)的概率是多少？

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)扇形面積公式，利用基本不等式，求出當(dāng)圓心角α=2時(shí)，扇形的面積S有最大值，再利用幾何概型計(jì)算公式，即可求出所求的概率．
解答：解：設(shè)扇形周長(zhǎng)為m，半徑為r，則弧長(zhǎng)l=m-2r．
∴扇形的面積S=lr=r（m-2r）=•2r•（m-2r）
∵2r•（m-2r）≤=，
∴當(dāng)且僅當(dāng)r=時(shí)，扇形的面積S的最大值為．
此時(shí)扇形的弧長(zhǎng)為，故此時(shí)扇形的圓心角為α==2
因此，點(diǎn)落在△OAB內(nèi)的概率為
P====sin2
答：當(dāng)扇形面積最大時(shí)，向其內(nèi)任意擲點(diǎn)，該點(diǎn)落在△OAB內(nèi)的概率是sin2．
點(diǎn)評(píng)：本題給出周長(zhǎng)為定值的扇形，求其面積最大時(shí)擲點(diǎn)，能落在在△OAB內(nèi)的概率．著重考查了扇形的面積公式、弧長(zhǎng)公式、基本不等式求最值和幾何概型等知識(shí)，屬于中檔題．