Question

已知f（x）=

px-p

-lnx（p＞0）．
（1）如果f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，求p的取值范圍；
（2）設(shè)an=

2n+1

n

，求證：a₁+a₂+…+a_n≥2ln（n+1）．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）先化簡f（x）=

px-p

-lnx=

p

x-1

-lnx，再求導(dǎo)f′（x）=

p

2 x-1

-

1

x

=

p x-2 x-1

2x x-1

；化條件為f′（x）≥0恒成立，從而求解；
（2）由題意可推出

x-1

≥lnx，對(duì)x≥1恒成立，從而可得a_n≥ln

(n+1)2

n2

，從而可證明．

解答： 解：（1）f（x）=

px-p

-lnx=

p

x-1

-lnx，
f′（x）=

p

2 x-1

-

1

x

=

p x-2 x-1

2x x-1

；
則當(dāng)

x-1

=

1

p

，即x=1+

1

p

時(shí)，

p

x-2

x-1

有最小值，
則

p

（1+

1

p

）-2

1

p

≥0，
解得，p≥1；
（2）證明：由（1）知，f（x）=

x-1

-lnx是增函數(shù)，
所以f（x）≥f（1）=0，即

x-1

≥lnx，對(duì)x≥1恒成立．
∵a_n=

2n+1

n

=

(n+1)2 n2 -1

，
∴a_n≥ln

(n+1)2

n2

．
∴a₁+a₂+…+a_n
≥ln

22

12

+ln

32

22

+…+ln

(n+1)2

n2

=ln[

22

12

•

32

22

•…•

(n+1)2

n2

]
=ln（n+1）²=2ln（n+1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問題的處理方法，從而利用放縮法證明．