【題目】一個正方形被剖分為4個正方形，剖分圖的邊數(shù)為12.若一個正方形被剖分為2005個凸多邊形，試求剖分圖中邊數(shù)的最大值.

【答案】正方形剖分為2005個凸多邊形時，邊的最大值為6016.

【解析】

由歐拉定理可知，簡單多面體的頂點數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)有如下關(guān)系：.

由歐拉定理容易看出，若一個凸多邊形被剖分為個凸多邊形，則剖分圖中的頂點數(shù)、多邊形數(shù)、邊數(shù)滿足

. ①

下面在一般的情況下，即正方形被剖分為個凸多邊形時，求剖分圖中邊數(shù)的最大值.設剖分圖中的頂點數(shù)為、多邊形數(shù)為、邊數(shù)為.

（1）先求邊數(shù)的上界.

設原正方形的4個頂點是、、、.若凸多邊形的頂點，則易知

（這里用表示過頂點的邊數(shù)）.

故.

注意到這樣的頂點有個，于是，有個上面的不等式.將它們相加求和，并注意到除去正方形四邊的每條邊恰是兩個凸多邊形的邊，有

.

即.

因為，，，.

則. ②

由式①有

.

將式②代入式③，并整理得

，即.

（2）構(gòu)造例子，使邊數(shù).

如圖，過正方形的一邊相繼作條鄰邊的平行線，正方形被剖分為個矩形，易知，邊數(shù)

.

綜上所述，剖分圖中邊數(shù)的最大值為.

所以，正方形剖分為2005個凸多邊形時，邊的最大值為6016.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，短軸長為．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若橢圓的左焦點為，過點的直線與橢圓交于兩點，則在軸上是否存在一個定點使得直線的斜率互為相反數(shù)？若存在，求出定點的坐標；若不存在，也請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知△的三個內(nèi)角、、所對應的邊分別為、、，復數(shù)，，（其中是虛數(shù)單位），且.

（1）求證：，并求邊長的值；

（2）判斷△的形狀，并求當時，角的大小.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐P－ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四邊形ABCD為直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝，PA＝AD＝2，AB＝BC＝1，點M、E分別是PA、PD的中點

(1)求證：CE//平面BMD

(2)點Q為線段BP中點，求直線PA與平面CEQ所成角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)， ，在處的切線方程為.

（1）求， ；

（2）若，證明： .

【答案】（1）， ；（2）見解析

【解析】試題分析：（1）求出函數(shù)的導數(shù)，得到關(guān)于 的方程組，解出即可；

（2）由（1）可知， ，

由，可得，令， 利用導數(shù)研究其單調(diào)性可得

，

從而證明.

試題解析：（（1）由題意，所以，

又，所以，

若，則，與矛盾，故， .

（2）由（1）可知， ，

由，可得，

令，

，

令

當時， ， 單調(diào)遞減，且；

當時， ， 單調(diào)遞增；且，

所以在上當單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，

故，

故.

【點睛】本題考查利用函數(shù)的切線求參數(shù)的方法，以及利用導數(shù)證明不等式的方法，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質(zhì)的合理運用.

【題型】解答題
【結(jié)束】
22

【題目】在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（， 為參數(shù)），以坐標原點為極點， 軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為，若直線與曲線相切；

（1）求曲線的極坐標方程；

（2）在曲線上取兩點， 與原點構(gòu)成，且滿足，求面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某工廠共有男女員工500人，現(xiàn)從中抽取100位員工對他們每月完成合格產(chǎn)品的件數(shù)統(tǒng)計如下：

每月完成合格產(chǎn)品的件數(shù)（單位：百件）

頻數(shù)

10

45

35

6

4

男員工人數(shù)

7

23

18

1

1

（1）其中每月完成合格產(chǎn)品的件數(shù)不少于3200件的員工被評為“生產(chǎn)能手”.由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認為“生產(chǎn)能手”與性別有關(guān)？

非“生產(chǎn)能手”

“生產(chǎn)能手”

合計

男員工

span>女員工

合計

（2）為提高員工勞動的積極性，工廠實行累進計件工資制：規(guī)定每月完成合格產(chǎn)品的件數(shù)在定額2600件以內(nèi)的，計件單價為1元；超出件的部分，累進計件單價為1.2元；超出件的部分，累進計件單價為1.3元；超出400件以上的部分，累進計件單價為1.4元.將這4段中各段的頻率視為相應的概率，在該廠男員工中選取1人，女員工中隨機選取2人進行工資調(diào)查，設實得計件工資（實得計件工資=定額計件工資+超定額計件工資）不少于3100元的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.

附：，

.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】給出下列四個命題：

①函數(shù)與函數(shù)表示同一個函數(shù)；

②奇函數(shù)的圖象一定通過直角坐標系的原點；

③函數(shù)的圖象可由的圖象向右平移1個單位得到；

④若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為；

⑤設函數(shù)是在區(qū)間上圖象連續(xù)的函數(shù)，且，則方程在區(qū)間上至少有一實根．

其中正確命題的序號是________．（填上所有正確命題的序號）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】《中華人民共和國民法總則》（以下簡稱《民法總則》）自2017年10月1日起施行.作為民法典的開篇之作，《民法總則》與每個人的一生息息相關(guān).某地區(qū)為了調(diào)研本地區(qū)人們對該法律的了解情況，隨機抽取50人，他們的年齡都在區(qū)間上，年齡的頻率分布及了解《民法總則》的入數(shù)如下表：

年齡

頻數(shù)

5

5

10

15

5

10

了解《民法總則》

1

2

8

12

4

5

（1）填寫下面列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認為以45歲為分界點對了解《民法總則》政策有差異；

年齡低于45歲的人數(shù)

年齡不低于45歲的人數(shù)

合計

了解

不了解

合計

（2）若對年齡在，的被調(diào)研人中各隨機選取2人進行深入調(diào)研，記選中的4人中不了解《民法總則》的人數(shù)為，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望.

參考公式和數(shù)據(jù)：

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知是定義域為的奇函數(shù)，滿足，若，則________

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