Question

橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），F(xiàn)₁、F₂分別是它的左、右焦點，已知橢圓C過點（0，1），且離心率e=

2 2

3

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓的左、右頂點分別為A、B，直線l的方程為x=4，P是橢圓上異于A、B的任意一點，直線PA、PB分別交直線l于D、E兩點，求

F1D

•

F2E

的值；
（Ⅲ）過點Q（1，0）任意作直線m（與x軸不垂直）與橢圓C交于M、N兩點，與l交于R點，

RM

=x

MQ

，

RN

=y

NQ

． 求證：4x+4y+5=0．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,橢圓的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）利用已知條件求出b，a，然后求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)P（x₀，y₀），推出直線PA、PB的方程，求得D，E兩點的坐標求出向量，利用點P（x₀，y₀）在橢圓C上，即可求

F1D

•

F2E

的值；
（Ⅲ）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），R（4，t），利用

RM

=x

MQ

，得到：

x1= 4+x 1+x y1= t 1+x

（λ≠-1），代入橢圓方程，化簡，由

RN

=y

NQ

得（4+y）²+9t²=9（1+y）²，然后消去t，即可得到4x+4y+5=0．

解答： 解：（Ⅰ）橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），F(xiàn)₁、F₂分別是它的左、右焦點，已知橢圓C過點（0，1），且離心率e=

2 2

3

，所以b=1，

a2-b2

a2

=

8

9

，解得a=3，
所求橢圓方程為：

x2

9

+y2=1…4分
（Ⅱ）設(shè)P（x₀，y₀），則直線PA、PB的方程分別為y=

y0

x0+3

(x+3)，y=

y0

x0-3

(x-3)，
將x=4分別代入可求得D，E兩點的坐標分別為D(4，

7y0

x0+3

)，E(4，

y0

x0-3

)．
由（Ⅰ），F1(-2

2

，0)，F2(2

2

，0)，
所以

F1D

•

F2E

=(4+2

2

，

7y0

x0+3

)•(4-2

2

，

y0

x0-3

)=8+

7 y 2 0

x 2 0 -9

，
又∵點P（x₀，y₀）在橢圓C上，
∴

x 2 0

9

+

y

2 0

=1⇒

y 2 0

x 2 0 -9

=-

1

9

，
∴

F1D

•

F2E

=

65

9

．…8分
（Ⅲ）證明：設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），R（4，t），
由

RM

=x

MQ

得（x₁-4，y₁-t）=x（1-x₁，-y₁）
所以

x1= 4+x 1+x y1= t 1+x

（λ≠-1），代入橢圓方程得 （4+x）²+9t²=9（1+x）²①
同理由

RN

=y

NQ

得（4+y）²+9t²=9（1+y）²②
①-②消去t，得x+y=-

5

4

，所以4x+4y+5=0．…13分．

點評：本題考查橢圓的相關(guān)知識，直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查學生運算能力、分析問題的能力，較難題．