Question

f（x）=x²-x+b，且f（log₂a）=b，log₂f（a）=2（a≠1），
（1）求f（log₂x）的最小值；
（2）當x取何值時，f（log₂x）＞f（1）且log₂[f（x）]=＜f（1）．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中f（x）=x²-x+b，且f（log₂a）=b，log₂f（a）=2（a≠1），我們可以構造一個關于a，b的方程組，解方程組，求出滿足條件的a，b的值，即可得到函數f（x）的解析式，結合對數函數的值域和二次函數的最小值，即可求出f（log₂x）的最小值；
（2）聯(lián)立f（log₂x）＞f（1）且log₂[f（x）]=＜f（1）．我們可以得到一個關于x的不等式組，根據對數的運算性質及一元二次不等式的解法，解不等式組，即可得到滿足條件的x的取值范圍．
解答：解：（I）∵log₂f（a）=2
∴f（a）=4，即a²-a+b=4①
又∵f（log₂a）=b，
∴（log₂a）²-（log₂a）=+b=2②
解得：a=2，b=2
∴f（x）=x²-x+2，
因為log₂x∈R，
所以當x=時，f（log₂x）取最小值為（4分）
（II）若f（log₂x）＞f（1）且log₂[f（x）]=＜f（1）．
則f（log₂x）²-log₂x＞0且x²-x＜2
解得x∈（0，1）
點評：本題考查的知識點是對數函數的值域與最值，對數函數的單調性與特殊點，其中根據已知條件構造一個關于a，b的方程組，解方程組，求出滿足條件的a，b的值，進而得到函數f（x）的解析式，是解答本題的關鍵．