Question

10．在數(shù)列{a_n}中，已知a₁=1，S_n=n²a_n，求通項公式a_n．

Answer 1

分析 利用a_n+1=S_n+1-S_n，整理出a_n的遞推式，進而用疊乘法求得a_n．

解答 解：∵S_n=n²a_n，∴S_n+1=（n+1）²a_n+1，
兩式相減得：a_n+1=S_n+1-S_n=（n+1）²a_n+1-n²a_n，
∴n²a_n=n（n+2）a_n+1，即na_n=（n+2）a_n+1，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{n+2}$，即$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n+1}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$•$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•=$\frac{n-1}{n+1}$•$\frac{n-2}{n}$•…•$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{n（n+1）}$，
又∵a₁=1，∴a_n=$\frac{n-1}{n+1}$•$\frac{n-2}{n}$•…•$\frac{1}{3}$•1=$\frac{2}{n（n+1）}$，
即數(shù)列{a_n}的通項為：$\frac{2}{n（n+1）}$．

點評 本題主要考查了數(shù)列的遞推式．?dāng)?shù)列的遞推式是高考中常考的題型，涉及數(shù)列的通項公式，求和問題，數(shù)列與不等式的綜合等問題，注意解題方法的積累，屬于中檔題．