Question

如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，
（1）求異面直線AC和DE所成的角
（2）求二面角A-CD-E的大小
（3）若Q為EF的中點(diǎn)，P為AC上一點(diǎn)，當(dāng)為何值時(shí)，PQ∥平面EDC？

Answer 1

解：（1）以AB，AD，AF所在直線為坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系，如圖：
設(shè)AD=2，則 A（0，0，0），C（1，-1，0），D（0，-2，0），
E（0，-1，1），F(xiàn)（0，0，1）．
∴，∴，
∴異面直線AC和DE所成的角為60°．
（2），
設(shè)平面CDE的法向量為，則 ，取x=1，y=-1，z=1，故．
平面CDA的一個(gè)法向量為，，
所以二面角A-CD-E的大小為．
（3），設(shè)P（x，y，0），，由得 ，，
令，求得λ=3，因此的值為3時(shí)，PQ∥平面EDC．
分析：（1）以AB，AD，AF所在直線為坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系，求出的值，即可得到異面直線AC和DE所成的角．
（2）求出兩個(gè)平面的法向量的坐標(biāo)，即可求得這兩個(gè)法向量的夾角的余弦值，從而得到二面角A-CD-E的大�。�
（3）設(shè)P（x，y，0），由得到的坐標(biāo)，由 求得λ值，即得所求．
點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線所成的角的定義和求法，證明線面平行的方法，求二面角的大小，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，
準(zhǔn)確求出有關(guān)向量的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．