Question

已知f（x）=x+

1

|x|

．
（1）指出的f（x）值域；
（2）求函數(shù)g（x）=f（x）-p（p∈R）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
（3）若函數(shù)f（x）對任意x∈[-2，-1]，不等式f（mx）+mf（x）＜0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系,函數(shù)的值域,函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）分當(dāng)x＞0和當(dāng)x＜0時(shí)兩種情況，分別根據(jù)函數(shù)的解析式求得函數(shù)的值域，綜合可得結(jié)論．
（2）函數(shù)g（x）=f（x）-p（p∈R）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即函數(shù)f（x）的圖象和直線y=p的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．結(jié)合（1）的結(jié)論，分類討論求得結(jié)果．
（3）由題意可得，對于任意x∈[-2，-1]，不等式f（mx）+mf（x）=2mx-

m2+1

mx

＜0恒成立，再分m＞0和 m＜0兩種情況，分別求得m的范圍，再取并集，即得所求．

解答： 解：（1）當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)=x+

1

x

≥2，當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)=x-

1

x

∈R，
所以，f（x）值域?yàn)镽．
（2）函數(shù)g（x）=f（x）-p（p∈R）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，
即函數(shù)f（x）的圖象和直線y=p的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．
由（1）可得，當(dāng)x＞0時(shí)f（x）=x+

1

x

≥2．
當(dāng)x＜0時(shí)f（x）=x-

1

x

，由(x-

1

x

)′=1+

1

x2

＞0，
可得f（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)．
故當(dāng)p＞2時(shí)，函數(shù)g（x）=f（x）-p（p∈R）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是3．
當(dāng)p=2時(shí)，函數(shù)g（x）=f（x）-p（p∈R）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是2，
當(dāng)p＜2時(shí)，函數(shù)g（x）=f（x）-p（p∈R）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是1．
（3）顯然，m≠0，函數(shù)f（x）=x-

1

x

 在[-2，-1]上是增函數(shù)，
再由不等式f（mx）+mf（x）=2mx-

m2+1

mx

＜0恒成立，可得 ①當(dāng)m＞0時(shí)，
2m²x²-m²-1＞0恒成立，即 m²＞

1

2x2-1

恒成立，
而

1

2x2-1

在[-2，-1]上的最大值為1，∴m＞1．
②當(dāng)m＜0時(shí)，mx＞0，可得2m²x²-m²-1＜0恒成立，即 m²＜

1

2x2-1

恒成立，
而

1

2x2-1

在[-2，-1]上的最小值為

1

7

，∴m＜

1

7

，故此時(shí)可得m＜0．
綜上可得，m的范圍為（-∞，0）∪（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了分類討論、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．