Question

已知函數(shù)f（x）=log3（ax+b）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，1）和B（5，2），記a_n=3^f（n），n∈N^*   
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式
（2）設(shè)b_n=

an

2n

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n  
（3）在（2）的條件下，判斷數(shù)列{T_n }的單調(diào)性，并給出證明．

Answer 1

分析：（1）先由函數(shù)f（x）=log₃（ax+b）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，1）和B（5，2），求出a，b，進(jìn)而求得函數(shù)f（x）的解析式，即可求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）用錯(cuò)位相減法求出T_n的表達(dá)式即可求出對(duì)應(yīng)的m的最小值；
（3）根據(jù)（2）中數(shù)列{T_n }的通項(xiàng)公式，我們不妨構(gòu)造函數(shù)f（n）=

2n+3

2n

，n∈n^*，并判斷出函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)數(shù)列{T_n }的單調(diào)性與函數(shù)f（n）的單調(diào)性相反，易得到數(shù)列{T_n }的單調(diào)性．

解答：解：（1）由題意得

log3(2a+b)=1 log3(5a+b)=2

，解得

a=2 b=-1

，（2分）
∴f（x）=log₃（2x-1）
an=3log3(2n-1)=2n-1，n∈N*（4分）
（2）由（1）得 bn=

2n-1

2n

，∴Tn=

1

21

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-3

2n-1

+

2n-1

2n

①…5分

1

2

Tn= 

1

22

+

3

23

+…+

2n-5

2n-1

+

2n-3

2n

+

2n-1

2n+1

②…7分
①-②得

1

2

Tn=

1

21

+

2

22

+

2

23

+…+

2

2n-1

+

2

2n

-

2n-1

2n+1

=

1

21

+2(

1

21

+

1

22

+…+

1

2n-2

+

1

2n-1

)-

2n-1

2n+1

=

3

2

-

1

2n-1

-

2n-1

2n+1

，
∴Tn=3-

1

2n-2

-

2n-1

2n

=3-

2n+3

2n

，（10分）
（3）數(shù)列{T_n }為遞增數(shù)列
∵T_n=3-

2n+3

2n

，令f（n）=

2n+3

2n

，n∈n^*，
∴f（n+1）-f（n）=

2n+5

2n+1

-

2n+3

2n

=

-2n-1

2n+1

＜0…13分
故函數(shù)f（n）=

2n+3

2n

，n∈n^*為減函數(shù)，
則數(shù)列{T_n }為遞增數(shù)列…14分

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用，數(shù)列的求和，其中第二問(wèn)考查了數(shù)列求和的錯(cuò)位相減法．錯(cuò)位相減法適用于通項(xiàng)為一等差數(shù)列乘一等比數(shù)列組成的新數(shù)列．