Question

已知定點A（1，0），B （2，0）．動點M滿足

AB

•

BM

+

2

|

AM

|=0，
（1）求點M的軌跡C；
（2）若過點B的直線l（斜率不等于零）與（1）中的軌跡C交于不同的兩點E、F（E在B、F之間），試求△OBE與△OBF面積之比的取值范圍．

Answer 1

考點：軌跡方程,直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）對拋物線方程進行求導，求得直線l的斜率，設出M的坐標，利用

AB

•

BM

+

2

|

AM

|=0，求得x和y的關系．
（2）設E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），由兩個三角形同底，令λ=

S△OBE

S△OBF

，則λ=

|BE|

|BF|

，由此可得

BE

=λ

BF

，只要求得λ即可．

解答： 解：（1）設M（x，y），則

AB

=（1，0），

BM

=（x-2，y），

AM

=（x-1，y），
由

AB

•

BM

+

2

|

AM

|=0，
整理，得

x2

2

+y2=1．（4分）
（2）如圖，由題意知l’的斜率存在且不為零，設l’方程為my=x-2①，將①代入

x2

2

+y2=1，整理，得（m²+1）y²+4my+2=0，
設E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），則

y1+y2= 2 m2+1 y1y2=- 4m m2+1

②；△＞0得m²＞1（7分）
令λ=

S△OBE

S△OBF

，則λ=

|BE|

|BF|

，由此可得

BE

=λ

BF

，λ=

y1

y2

，且0＜λ＜1．
∴λ+

1

λ

=

y1

y2

+

y2

y1

=

y 2 1 + y 2 2

y1y2

=

(y1+y2)2

y1y2

-2=

8m2

m2+1

-2=6-

8

m2+1

（10分）
∵m²＞1，∴2＜λ+

1

λ

＜6，解得3-2

2

＜λ＜3+2

2

  且λ≠1（12分）
又∵0＜λ＜1，∴3-2

2

＜λ＜1，
∴△OBE與△OBF面積之比的取值范圍是（3-2

2

，1）．（13分）

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學生基本的推理能力和基本的運算能力．