Question

10．已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+1，集合A={x|f（x）＞0}．
（1）若A=（-1，2），求實數(shù)a，b的值；
（2）若-1∈A，2∈A．求3a-b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由一元二次不等式的解集與一元二次方程的根的關(guān)系可以得出，ax²+bx+1=0的解為-1，2，由根系關(guān)系即可求得實數(shù)a，b的值
（2）要題意可得出一關(guān)于實數(shù)a，b的不等式組，要求3a-b的取值范圍可用線性規(guī)劃的知識來求，以所得不等式組作為約束條件，以3a-b作為目標(biāo)函數(shù)即可

解答 解：（1）由題意可知：a＜0，且ax²+bx+1=0的解為-1，2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{\frac{1}{a}=-2}\\{-\frac{a}=1}\end{array}\right.$，解得：a=-$\frac{1}{2}$，b=$\frac{1}{2}$；
（2）由題意可得 $\left\{\begin{array}{l}{f（-1）＞0}\\{f（2）＞0}\end{array}\right.$，⇒$\left\{\begin{array}{l}{a-b+1＞0}\\{4a+2b+1＞0}\end{array}\right.$，
畫出可行域，如圖示：

由 $\left\{\begin{array}{l}{a-b+1=0}\\{4a+2b+1=0}\end{array}\right.$得{ $\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
作平行直線系z=3a-b可知z=3a-b的取值范圍是（-2，+∞）．

點評 本題考查一元二次不等式的應(yīng)用，求解本題的關(guān)鍵是理解一元二次不等式的解集與一元二次方程的根的關(guān)系以及將第二問中求3a-b的取值范圍的問題轉(zhuǎn)化到線性規(guī)劃中求解．做題時靈活轉(zhuǎn)化是降低題目難度順利解題的關(guān)鍵．