設(shè)二次函數(shù)f(x)=(k-4)x2+kx(k∈R),對任意實(shí)數(shù)x,f(x)≤6x+2恒成立;數(shù)列{an}滿足an+1=f(an).
(1)求函數(shù)f(x)的解析式和值域;
(2)試寫出一個區(qū)間(a,b),使得當(dāng)a1∈(a,b)時,數(shù)列{an}在這個區(qū)間上是遞增數(shù)列,并說明理由;
(3)已知,求:log3(
1
1
2
-a1
)+log3(
1
1
2
-a2
)+…+log3(
1
1
2
-an
)
分析:(1)只需二次項(xiàng)的系數(shù)為0,△≤0即可求出k的值,從而確定f(x),進(jìn)而確定值域.
(2)當(dāng)a1∈(0,
1
2
)
成立,可以證明an+1-an>0,本題答案不唯一.
(3)由(2)得出,
1
2
-an+1=2(
1
2
-an)
2
,設(shè)bn=
1
2
-an
,得
1
1
2
-an
=
1
bn
=2•32n-1
,log3(
1
1
2
-an
)=log3(2•32n-1)=log32+2n-1
,進(jìn)而求出log3(
1
1
2
-a1
)+log3(
1
1
2
-a2
)+…+log3(
1
1
2
-an
)
的值.
解答:解:(1)由f(x)≤6x+2恒成立等價于(k-4)x2+(k-6)x-2≤0恒成立,(1分)
從而得:
k-4<0
(k-6)2+8(k-4)≤0
,化簡得
k<4
(k-2)2≤0
,從而得k=2,所以f(x)=-2x2+2x,(3分)
其值域?yàn)?span id="pzh55vl" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">(-∞,
1
2
].(4分)
(2)解:當(dāng)a1∈(0,
1
2
)
時,數(shù)列an在這個區(qū)間上是遞增數(shù)列,證明如下:
設(shè)an∈(0,
1
2
),n≥1
,則an+1=f(an)=-2
a
2
n
+2an=-2(an-
1
2
)2+
1
2
∈(0,
1
2
)
,所以對一切n∈N*,均有an∈(0,
1
2
)
;(7分)an+1-an=f(an)-an=-2
a
2
n
+2an-an=-2(an-
1
4
)2+
1
8
an∈(0,
1
2
)?-
1
4
an-
1
4
1
4
?(an-
1
4
)2
1
16
?-2(an-
1
4
)2>-
1
8
?-2(an-
1
4
)2+
1
8
>0

從而得an+1-an>0,即an+1>an,所以數(shù)列an在區(qū)間(0,
1
2
)
上是遞增數(shù)列.(10分)
注:本題的區(qū)間也可以是[
1
5
,
1
2
)
、[
1
4
,
1
2
)
、[
1
3
,
1
2
)
等無窮多個.
另解:若數(shù)列an在某個區(qū)間上是遞增數(shù)列,則an+1-an>0
即an+1-an=f(an)-an=-2an2+2an-an=-2an2+an>0?an∈(0,
1
2
)
(7分)
又當(dāng)an∈(0,
1
2
),n≥1
時,an+1=f(an)=-2
a
2
n
+2an=-2(an-
1
2
)2+
1
2
∈(0,
1
2
)
,所以對一切n∈N*,均有an∈(0,
1
2
)
且an+1-an>0,所以數(shù)列an在區(qū)間(0,
1
2
)
上是遞增數(shù)列.(10分)
(3)(文科)由(2)知an∈(0,
1
2
)
,從而
1
2
-an∈(0,
1
2
)
;
1
2
-an+1=
1
2
-(-2
a
2
n
+2an)=2
a
2
n
-2an+
1
2
=2(an-
1
2
)2
,即
1
2
-an+1=2(
1
2
-an)2
;(12分)
bn=
1
2
-an
,則有bn+1=2bn2bn∈(0,
1
2
)

從而有l(wèi)gbn+1=2lgbn+lg2,可得lgbn+1+lg2=2(lgbn+lg2),
所以數(shù)列l(wèi)gbn+lg2是以lgb1+lg2=lg(
1
2
-
1
3
)+lg2=lg
1
3
為首項(xiàng),公比為2的等比數(shù)列,(14分)
從而得lgbn+lg2=lg
1
3
2n-1=lg(
1
3
)2n-1
,即lgbn=lg
(
1
3
)
2n-1
2
,所以bn=
(
1
3
)
2n-1
2
=
1
2
(
1
3
)2n-1

所以
1
1
2
-an
=
1
bn
=2•32n-1
,所以log3(
1
1
2
-an
)=log3(2•32n-1)=log32+2n-1
,(16分)
所以log3(
1
1
2
-a1
)+log3(
1
1
2
-a2
)+…log3(
1
1
2
-an
)
,=nlog32+
1-2n
1-2
=2n+nlog32-1
.(18分)
點(diǎn)評:本題是數(shù)列與函數(shù)的綜合題,考查了函數(shù)的值域,數(shù)列的化簡與求和,是綜合性題目,對基本方法和靈活運(yùn)用要求比較高,屬于高檔題目.
練習(xí)冊系列答案
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設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c滿足f(-1)=0,對于任意的實(shí)數(shù)x都有f(x)-x≥0,并且當(dāng)x∈(0,2)時,f(x)≤(
x+12
)
2

(1)求f(1)的值;
(2)求證:a>0,c>0;
(3)當(dāng)x∈(-1,1)時,函數(shù)g(x)=f(x)-mx,m∈R是單調(diào)的,求m的取值范圍.

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設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)-x=0的兩個根x1、x2滿足0<x1<x2
1
a
,且函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=x0對稱,則有( 。
A、x0
x1
2
B、x0
x1
2
C、x0
x1
2
D、x0
x1
2

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設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+(2b+1)x-a-2(a,b∈R,a≠0)在[3,4]上至少有一個零點(diǎn),求a2+b2的最小值.

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設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)滿足:當(dāng)x=1時,f(x)取得最小值1,且f(0)=
32

(1)求a、b、c的值;
(2)是否存在實(shí)數(shù)m,n,使x∈[m,n]時,函數(shù)的值域也是[m,n]?若存在,則求出這樣的實(shí)數(shù)m,n;若不存在,則說明理由.

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設(shè)二次函數(shù)f(x)=x2+x+a(a>0),若f(m)<0,則有( 。

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