Question

（2013•天津）設(shè)橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F，離心率為

3

3

，過點(diǎn)F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為

4 3

3

．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)A，B分別為橢圓的左，右頂點(diǎn)，過點(diǎn)F且斜率為k的直線與橢圓交于C，D兩點(diǎn)．若

AC

•

DB

+

AD

•

CB

=8，求k的值．

Answer 1

分析：（I）先根據(jù)橢圓方程的一般形式，令x=c代入求出弦長使其等于

4 3

3

，再由離心率為

3

3

，可求出a，b，c的關(guān)系，進(jìn)而得到橢圓的方程．
（II）直線CD：y=k（x+1），設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），由由

y=k(x+1) x2 3 + y2 2 =1

消去y得，（2+3k²）x²+6k²x+3k²-6=0，再由韋達(dá)定理進(jìn)行求解．求得

AC

•

DB

+

AD

•

CB

，利用

AC

•

DB

+

AD

•

CB

=8，即可求得k的值．

解答：解：（I）根據(jù)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
∵過焦點(diǎn)且垂直于長軸的直線被橢圓截得的線段長為

4 3

3

，
∴

2b2

a

=

4 3

3

，
∵離心率為

3

3

，∴

c

a

=

3

3

，
解得b=

2

，c=1，a=

3

．
∴橢圓的方程為

x2

3

+

y2

2

=1；
（II）直線CD：y=k（x+1），
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
由

y=k(x+1) x2 3 + y2 2 =1

消去y得，（2+3k²）x²+6k²x+3k²-6=0，
∴x₁+x₂=-

6k2

2+3k2

，x₁x₂=

3k2-6

2+3k2

，又A（-

3

，0），B（

3

，0），
∴

AC

•

DB

+

AD

•

CB

=（x₁+

3

，y₁）•（

3

-x₂．-y₂）+（x₂+

3

，y₂）•（

3

-x₁．-y₁）
=6-（2+2k²）x₁x₂-2k²（x₁+x₂）-2k²，
=6+

2k2+12

2+3k2

=8，解得k=±

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的簡單性質(zhì)等，考查方程思想．在橢圓中一定要熟練掌握a，b，c之間的關(guān)系、離心率、準(zhǔn)線方程等基本性質(zhì)．