Question

各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}中，若a₁≥1，a₂≤2，a₃≥3，則a₄的取值范圍是

[

9

2

，8]

．

Answer 1

分析：根據(jù)題中的不等式組，聯(lián)想到運用線性規(guī)劃的知識解決問題．因此，將所得的不等式的兩邊都取常用對數(shù)，得到關(guān)于lga₁和lgq的一次不等式組，換元：令lga₁=x，lgq=y，lga₄=t，得到關(guān)于x、y的二次一次不等式組，再利用直線平移法進(jìn)行觀察，即可得到a₄的取值范圍．

解答：解：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，根據(jù)題意得：

a1≥1 a2=a1q≤2 a3=a1q2≥3 a4=a1q3

，
∴各不式的兩邊取常用對數(shù)，得

lga1≥0 lga1+lgq≤lg2 lga1+2lgq≥lg3 lga4=lga1+3lgq

令lga₁=x，lgq=y，lga₄=t
將不等式組化為：

x≥0 x+y≤lg2 x+2y≥lg3 t=x+3y

，
作出以上不等式組表示的平面區(qū)域，得到如圖的△ABC及其內(nèi)部
其中A（0，lg2），B（2lg2-lg3，lg3-lg2），C（0，

1

2

lg3）
將直線l：t=x+3y進(jìn)行平移，可得
當(dāng)l經(jīng)過點A時，t=3lg2取得最大值；當(dāng)l經(jīng)過點B時，t=-lg2+2lg3取得最小值
∴t=lga₄∈[-lg2+2lg3，3lg2]，即lga₄∈[lg

9

2

，lg8]
由此可得a₄的取值范圍是[

9

2

，8]
故答案為：[

9

2

，8]

點評：本題給出等比數(shù)列，在已知a₁≥1，a₂≤2，a₃≥3的情況下求a₄的取值范圍．著重考查了等比數(shù)列的通項公式、二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和簡單的線性規(guī)劃等知識，屬于基礎(chǔ)題．