Question

設(shè)雙曲線（a＞0）的兩個焦點分別為F₁、F₂，離心率為2，
（Ⅰ）求此雙曲線的漸近線l₁、l₂的方程；
（Ⅱ）若A、B分別為l₁、l₂上的動點，且2|AB|=5|F₁F₂|，求線段AB的中點M的軌跡方程。

Answer 1

解：（Ⅰ） ∵e=2，
∴c²=4a²，
∵c²=a²+3，
∴a=1，c=2，
∴雙曲線方程為，漸近線方程為y=±x；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁， y₁），B（x₂， y₂），AB的中點M（x，y），
∵，
∴=10，
∴=10，
又∵y₁=x₁，y₂=x₂，2x=x₁+x₂，2y=y₁+y₂，
∴y₁+y₂=（x₁-x₂），y₁-y₂=（x₁+ x₂），
∴=10，
∴3（2y）²+（2x）²=100，
∴，即為M的軌跡方程�！�