Question

記（1+

x

2

）（1+

x

22

）…（1+

x

2n

）的展開(kāi)式中，x的系數(shù)為a_n，x²的系數(shù)為b_n，其中x∈N^*．
（1）求a_n，b_n；                                                                    
（2）是否存在常數(shù)p、q（p＜q），使b_n=

1

3

（1+

p

2n

）（1+

q

2n

），對(duì)n∈N^*，n≥2恒成立？

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,排列、組合的實(shí)際應(yīng)用

專(zhuān)題：計(jì)算題,壓軸題,等差數(shù)列與等比數(shù)列,二項(xiàng)式定理

分析：（1）由二項(xiàng)式定理得遞推公式：a_n+1=a_n+

1

2n+1

，b_n+1=b_n+

an

2n+1

，從而求a_n=1-(

1

2

)n，b_n=

1

3

-

1

2n

+

1

3•22n-1

；
（2）假設(shè)存在，則

1

3

（1+

p

2n

）（1+

q

2n

）=

1

3

-

1

2n

+

1

3•22n-1

，化簡(jiǎn)得p+q=-3，pq=2，從而解出p=-2，q=-1．

解答： 解：（1）∵f（x，n）=（1+

x

2

）（1+

x

22

）…（1+

x

2n

）=g（x，n）x³+b_nx²+a_nx+1，
∴f（x，n+1）=f（x，n）（1+

x

2n+1

），
∴g（x，n+1）x³+b_n+1x²+a_n+1x+1=[g（x，n）x³+b_nx²+a_nx+1]（1+

x

2n+1

）
比較x系數(shù)有：a_n+1=a_n+

1

2n+1

，比較x²系數(shù)有：b_n+1=b_n+

an

2n+1

，
又∵a₁=

1

2

，b₁=0；
∴a_n=

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n=1-(

1

2

)n；
∴b_n+1=b_n+

an

2n+1

=b_n+

1

2n+1

-

1

22n+1

；
∴b_n=b₁+（

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

）-（

1

23

+

1

25

+…+

1

22n-1

）
=0+（

1

2

-

1

2n

）-

1

6

（1-

1

22n-2

）
=

1

3

-

1

2n

+

1

3•22n-1

；
∴a_n=1-(

1

2

)n，b_n=

1

3

-

1

2n

+

1

3•22n-1

；
（2）若存在常數(shù)p．q（p＜q），使b_n=

1

3

（1+

p

2n

）（1+

q

2n

），對(duì)n∈N^*，n≥2恒成立，
則有

1

3

（1+

p

2n

）（1+

q

2n

）=

1

3

-

1

2n

+

1

3•22n-1

，
即（1+

p

2n

）（1+

q

2n

）=1-3

1

2n

+2(

1

2n

)2，
則p+q=-3，pq=2，
解得p=-2，q=-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二項(xiàng)式的分解及由遞推公式求通項(xiàng)公式的方法，同時(shí)考查了拆項(xiàng)求和與公式法求和，屬于壓軸題．化簡(jiǎn)也比較困難，需要細(xì)心．