【題目】如圖,在三棱錐中,
,
,
,
,
分別為線段
上的點(diǎn),且
,
.
(1)證明:;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】
(1)由已知可得平面
,得到
,從而得到
平面
,即
,然后利用勾股定理得
,從而得到
平面
,由線面垂直得性質(zhì)定理即可得到證明;(2)根據(jù)已知條件可建立以
為坐標(biāo)原點(diǎn),以
為
軸、
軸、
軸的正方向建立的空間直角坐標(biāo)系,求出平面
和面
的法向量,利用向量公式計(jì)算即可得到答案.
(1)證明:由,
,且
,
則平面
,
平面
,
故,
又,
,
則平面
,
平面
,
故.
因?yàn)?/span>,
,
所以,
故.
又因?yàn)?/span>,
所以平面
,
又平面
,則
(2)由(1)知,為等腰直角三角形,過
作
垂直
于
,
易知,,又
,故
由,
,得
,
故
以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以
為
軸、
軸、
軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系
,如圖所示,
則,
,
,
,
,
,
,
.
設(shè)平面的法向量為
,則
,
令,得
設(shè)平面的法向量為
則,
令,則
,
,故
,
由圖可知二面角為鈍角,
故二面角的余弦值為
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】節(jié)能減排以來,蘭州市100戶居民的月平均用電量單位:度
,以
分組的頻率分布直方圖如圖.
求直方圖中x的值;
求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù);
估計(jì)用電量落在
中的概率是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在各棱長均為2的三棱柱中,側(cè)面
底面ABC,
.
(1)求側(cè)棱與平面
所成角的正弦值的大小;
(2)已知點(diǎn)D滿足,在直線
上是否存在點(diǎn)P,使DP∥平面
?若存在,請確定點(diǎn)P的位置,若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙、丙三人進(jìn)行羽毛球練習(xí)賽,其中兩人比賽,另一人當(dāng)裁判,每局比賽結(jié)束時(shí),負(fù)的一方在下一局當(dāng)裁判,假設(shè)每局比賽中,甲勝乙的概率為,甲勝丙、乙勝丙的概率都為
,各局比賽的結(jié)果都相互獨(dú)立,第
局甲當(dāng)裁判.
(1)求第局甲當(dāng)裁判的概率;
(2)記前局中乙當(dāng)裁判的次數(shù)為
,求
的概率分布與數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對某電子元件進(jìn)行壽命追蹤調(diào)查,情況如下:
壽命分組/h | 100~200 | 200~300 | 300~400 | 400~500 | 500~600 |
個(gè)數(shù) | 20 | 30 | 80 | 40 | 30 |
(1)求下表中的x,y;
壽命分組/h | 頻數(shù) | 頻率 |
100~200 | 20 | 0.10 |
200~300 | 30 | x |
300~400 | 80 | 0.40 |
400~500 | 40 | 0.20 |
500~600 | 30 | y |
合計(jì) | 200 | 1 |
(2)從頻率分布直方圖估計(jì)電子元件壽命的第80百分位數(shù)是多少.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
.
若
是函數(shù)
的極值點(diǎn),求曲線
在點(diǎn)
處的切線方程;
若函數(shù)
在區(qū)間
上為單調(diào)遞減函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
設(shè)m,n為正實(shí)數(shù),且
,求證:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;最大值,以及取得最大值時(shí)x的取值集合;
(2)已知中,角A、B、C的對邊分別為a,b,c,若
,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某地最近十年糧食需求量逐年上升,下表是部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)
(1)利用所給數(shù)據(jù)求年需求量與年份之間的回歸直線方程;
(2)利用(1)計(jì)算2002年和2006年糧食需求量的殘差;
(3)利用(1)中所求出的直線方程預(yù)測該地2012年的糧食需求量。
公式:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
,設(shè)
的定義域?yàn)?/span>
.
(1)求;
(2)用定義證明在
上的單調(diào)性,并直接寫出
在
上的單調(diào)性;
(3)若對一切
恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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