如圖，F(xiàn)1、F2是橢圓＝1(a>b>0)的左、右焦點，點M在x軸上，且，過點F2的直線與橢圓交于A、B兩點，且AM⊥x軸，＝0.

(1) 求橢圓的離心率；

(2) 若△ABF1的周長為4，求橢圓的方程．


解：(1) 設(shè)F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，A(x0，y0)，橢圓的離心率為e，則M.

∵＝e，∴ |AF1|＝a＋ex0.同理，|AF2|＝a－ex0.

∵＝0，∴ AF1⊥AF2，

∴ |AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，

∴ (a＋ex0)2＋(a－ex0)2＝4c2, 即a2＋e2x＝2c2.

∵ x0＝c，∴ a2＋e2·c2＝2c2,

∴ 1＋e4＝2e2，即3e4－8e2＋4＝0，

∴ e2＝或2(舍)，∴ 橢圓的離心率e＝.

 (2) ∵ △ABF2的周長為4，∴ 4a＝4，

∴ a＝.又＝，∴ c＝2, ∴ b2＝2.

∴ 橢圓方程為＝1.


練習(xí)冊系列答案
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 已知橢圓C：＋y2＝1的兩焦點為F1，F(xiàn)2，點P(x0，y0)滿足＋y≤1，則PF1＋PF2的取值范圍為________．

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如圖所示，直線l1和l2相交于點M，l1⊥l2，點N∈l1，以A、B為端點的曲線段C上任一點到l2的距離與到點N的距離相等．若△AMN為銳角三角形，|AM|＝，|AN|＝3，且|NB|＝6，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線段C的方程．

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已知F1、F2是橢圓C的左、右焦點，點P在橢圓上，且滿足PF1＝2PF2，∠PF1F2＝30°，則橢圓的離心率為________．

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已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點，長軸在x軸上，離心率為，且G上一點到G的兩個焦點的距離之和為12，則橢圓G的方程為______________．

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已知橢圓C：＝1(a>b>0)，點A、B分別是橢圓C的左頂點和上頂點，直線AB與圓G： (c是橢圓的半焦距)相離，P是直線AB上一動點，過點P作圓G的兩切線，切點分別為M、N.

(1) 若橢圓C經(jīng)過兩點，求橢圓C的方程；

(2) 當(dāng)c為定值時，求證：直線MN經(jīng)過一定點E，并求的值(O是坐標(biāo)原點)；

(3) 若存在點P使得△PMN為正三角形，試求橢圓離心率的取值范圍．

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已知橢圓在橢圓上．

(1) 求橢圓的離心率；

(2) 設(shè)A為橢圓的左頂點，O為坐標(biāo)原點．若點Q在橢圓上且滿足AQ＝AO，求直線OQ的斜率的值．

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已知雙曲線x2－y2＝1，點F1，F(xiàn)2為其兩個焦點，點P為雙曲線上一點，若PF1⊥PF2，則PF1＋PF2＝________．

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若實數(shù)x、y、m滿足|x－m|＞|y－m|，則稱x比y遠(yuǎn)離m.

(1) 若x2－1比1遠(yuǎn)離0，求x的取值范圍；

(2) 對任意兩個不相等的正數(shù)a、b，證明：a3＋b3比a2b＋ab2遠(yuǎn)離2ab.

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