Question

等軸雙曲線x²-y²=4上一點(diǎn)P到直線y=2x+1的距離最小，此時P點(diǎn)的坐標(biāo)為

 

．

Answer 1

分析：由題意，存在雙曲線的切線l，使直線l經(jīng)過點(diǎn)P且與直線y=2x+1平行，l與直線y=2x+1之間的距離就是點(diǎn)P到直線y=2x+1的距離的最小值．由此根據(jù)切線l方程與雙曲線方程聯(lián)解得到關(guān)于x的一元二次方程，利用根的判別式列式，解出滿足條件的切線l方程，進(jìn)而可求得滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：根據(jù)題意，存在過P點(diǎn)的切線l，當(dāng)l與直線y=2x+1平行時，
兩條平行線之間的距離等于點(diǎn)P到直線y=2x+1的距離，且這個距離達(dá)到最小值．
設(shè)切線l方程為y=2x+m，由

x 2-y 2=4 y=2x+m

消去y，得3x²+4mx+m²+4=0…（*）
∴△=16m²-4×3×（m²+4）=0，解之得m=±2

3

因此，經(jīng)過點(diǎn)P與直線y=2x+1平行的切線l方程為y=2x±2

3

，
其中與直線y=2x+1的距離較近是y=2x+2

3

，
將m=2

3

代入（*）式，解之得x₁=x₂=-

4 3

3

，代入切線方程得P點(diǎn)坐標(biāo)為P(-

4 3

3

，-

2 3

3

)
∴雙曲線x²-y²=4上到直線y=2x+1的距離最小的P點(diǎn)的坐標(biāo)為(-

4 3

3

，-

2 3

3

)
故答案為：(-

4 3

3

，-

2 3

3

)

點(diǎn)評：本題給出定直線與雙曲線，求雙曲線上到直線距離最小的點(diǎn)的坐標(biāo)．著重考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．