Question

已知在與處都取得極值.

（1）求，的值；

（2）設(shè)函數(shù)，若對任意的，總存在，使得、，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)條件，可得，由在與處都取得極值，可知，故可建立關(guān)于的二元一次方程組，從而解得，此時(shí)，需要代回檢驗(yàn)是否確實(shí)是的極值點(diǎn)，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，從而；（2）由（1）可得由（1）知：函數(shù)在上遞減，

∴ ，因此問題就等價(jià)于求使當(dāng)時(shí)，恒成立的的取值范圍，而二次函數(shù)圖像的對稱軸是，因此需對的取值作出以下三種情況的分類討論：①：；②：；③，分別用含的代數(shù)式表示上述三種情況下的最小值表示出來，從而可以建立關(guān)于的不等式，進(jìn)而求得的取值范圍為.

試題解析：（1）∵，∴. 1分

∵在與處都取得極值，

∴，∴ 4分

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，，

∴函數(shù)在與處都取得極值，∴ 6分；

（2）由（1）知：函數(shù)在上遞減，

∴ 8分，

又 ∵函數(shù)圖象的對稱軸是，

①：當(dāng)時(shí)：，顯然有成立， ∴ .

②：當(dāng)時(shí)：，∴， 解得：，

又∵ ，∴.

③：當(dāng)時(shí)：，∴ ， ∴， 又，∴

綜上所述： 12分，

∴實(shí)數(shù)的取值范圍為 13分.

考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用；2.二次函數(shù)與恒成立問題.