Question

給出定義：若m-

1

2

＜x≤m+

1

2

（其中m為整數(shù)），則m叫做離實(shí)數(shù)x最近的整數(shù)，記作{x}=m．下列關(guān)于函數(shù)f（x）=|x-{x}|的四個(gè)命題：
①函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镽，值域?yàn)閇0，

1

2

]；
②函數(shù)y=f（x）在[-

1

2

，

1

2

]上是增函數(shù)；
③函數(shù)y=f（x）是周期函數(shù)，最小正周期為1；
④函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=

k

2

（k∈Z）對(duì)稱．
其中正確命題的序號(hào)是______．

Answer 1

①∵m-

1

2

＜x≤m+

1

2

（其中m為整數(shù)），
∴-

1

2

＜x-m≤

1

2

，∴0≤|x-m|≤

1

2

，
∴函數(shù)f（x）=|x-{x}|=|x-m|的值域?yàn)閇0，

1

2

]．
②由定義知：當(dāng)x=-

1

2

時(shí)，m=-1，∴f（-

1

2

）=|-

1

2

-（-1）|=

1

2

；
當(dāng)-

1

2

＜x≤

1

2

時(shí)，m=0，∴f（x）=|x-0|=|x|≤

1

2

，
故f（x）在[-

1

2

，

1

2

]上不是增函數(shù)，所以②不正確．
③由-

1

2

＜x-m≤

1

2

得-

1

2

＜(x+1)-(m+1)≤

1

2

，
∴{x+1}={x}+1=m+1，∴f（x+1）=|（x+1）-{x+1}|=|x-{x}|=f（x），
所以函數(shù)y=f（x）是周期函數(shù)，最小正周期為1．
④由②可知：在x∈[-

1

2

，

1

2

]時(shí)，f（x）=|x|關(guān)于y周對(duì)稱；
又由③可知：函數(shù)y=f（x）是周期函數(shù)，最小正周期為1，
∴函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=

k

2

（k∈Z）對(duì)稱．
故答案為①③④．