Question

4．已知函數f（x）=e^kx（k是不為零的實數，e為自然對數的底數）．
（1）若函數y=f（x）與y=x³的圖象有公共點，且在它們的某一處有共同的切線，求k的值；
（2）若函數h（x）=（x²-3kx-3）•f（x）在區(qū)間（k，$\frac{1}{k}$）內單調遞減，求此時k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設切點坐標，再代入兩個解析式建立方程①，再由在切點處導數值相等列出方程②，聯(lián)立方程求解；
（2）由題意求出h（x）解析式，再求出此函數的導數，根據區(qū)間關系求出k的范圍，再對k分類：k＜-1時和0＜k＜1時，再由條件和導數與函數單調性關系，分別列出等價條件，求出k的范圍，最后并在一起．

解答 解：（1）設曲線y=f（x）與y=x³有共同切線的公共點為P（x₀，y₀），
則${e}^{k{x}_{0}}$=x₀³ ①，
又∵y=f（x）與y=x³在點P（x₀，y₀）處有共同切線，
且f′（x）=ke^kx，（x³）′=3x²，
∴k${e}^{k{x}_{0}}$=3x₀²②，
由①②解得，k=$\frac{3}{e}$．                   
（2）由f（x）=e^kx得，函數h（x）=（x²-3kx-3）e^kx，
∴（h（x））′=[kx²+（2-3k²）x-6k]e^kx
=k[x²+（$\frac{2}{k}$-3k）x-6]e^kx=k（x-3k）（x+$\frac{2}{k}$）e^kx．              
又由區(qū)間（k，$\frac{1}{k}$）知，$\frac{1}{k}$＞k，
解得0＜k＜1，或k＜-1．             
①當0＜k＜1時，
由（h（x））'=k（x-3k）（x+$\frac{2}{k}$）e^kx＜0，
得-$\frac{2}{k}$＜x＜3k，
即函數h（x）的單調減區(qū)間為（-$\frac{2}{k}$，3k），
要使h（x）=f（x）（x²-3kx-3）在區(qū)間（k，$\frac{1}{k}$）內單調遞減，
則有$\left\{\begin{array}{l}{0＜k＜1}\\{k≥-\frac{2}{k}}\\{\frac{1}{k}≤3k}\end{array}\right.$，解得$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤k＜1．                                 
②當k＜-1時，
由（h（x））'=k（x-3k）（x+$\frac{2}{k}$）e^kx＜0，
得x＜3k或x＞-$\frac{2}{k}$，
即函數h（x）的單調減區(qū)間為（-∞，3k）和（-$\frac{2}{k}$，+∞），
要使h（x）=f（x）（x²-3kx-3）在區(qū)間（k，$\frac{1}{k}$）內單調遞減，
則有 $\left\{\begin{array}{l}{k＜-1}\\{\frac{1}{k}≤3k}\end{array}\right.$，或 $\left\{\begin{array}{l}{k＜-1}\\{k≥-\frac{2}{k}}\end{array}\right.$，
這兩個不等式組均無解．
綜上，當$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤k＜1時，
函數h（x）=f（x）（x²-3kx-3）在區(qū)間（k，$\frac{1}{k}$）內單調遞減．

點評 本題考查了導數的幾何意義，導數與函數的單調性關系，查了分類討論思想和轉化思想．