【題目】已知函數(shù)f(x)= ﹣alnx,其中a>0,x>0,e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù). (Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)g(x)= ,證明:0<g(x)<1.

【答案】解:(Ⅰ) = = =
①當(dāng)0<a≤1時(shí),ex>a,當(dāng)x∈(0,1),f'(x)<0;當(dāng)x∈(1,+∞),f'(x)>0;
所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增.
②當(dāng)1<a<e時(shí),令ex=a,得x=lna∈(0,1),
由f'(x)<0得lna<x<1,由f'(x)>0得0<x<lna或x>lna,
所以f(x)在(0,lna),(1,+∞)上單調(diào)遞增,在(lna,1)上單調(diào)遞減.
③當(dāng)a=e時(shí),令ex=a,f'(x)≥0,故f(x)在(0,+∞)上遞增.
④當(dāng)a>e時(shí),令ex=a,得x=lna∈(1,+∞),
由f'(x)<0得1<x<lna,由f'(x)>0得0<x<1或x>lna,
所以f(x)在(0,1),(lna,+∞)上單調(diào)遞增,在(1,lna)上單調(diào)遞減.
綜上,當(dāng)0<a≤1時(shí),f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增.
當(dāng)1<a<e時(shí),f(x)在(0,lna),(1,+∞)上單調(diào)遞增,在(lna,1)上單調(diào)遞減.
當(dāng)a=e時(shí),f(x)在(0,+∞)上遞增.
當(dāng)a>e時(shí),f(x)在(0,1),(lna,+∞)上單調(diào)遞增,在(1,lna)上單調(diào)遞減.
(Ⅱ)證明:0<g(x)<1 1+xlnx>0①且
先證①:令h(x)=1+xlnx,則h(x)=1+lnx,
當(dāng) ,h'(x)<0,h(x)單調(diào)遞減;當(dāng) ,h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增;
所以 = = ,故①成立!
再證②:由(Ⅰ),當(dāng)a=1時(shí), 在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,
所以f(x)≥f(1)=e﹣1>0,故②成立!
綜上,0<g(x)<1恒成立
【解析】(Ⅰ)求出 ,根據(jù)0<a≤1,1<a<e,a=e,a>e進(jìn)行分類討論,利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能討論f(x)的單調(diào)性.(Ⅱ)0<g(x)<1等價(jià)于1+xlnx>0,且 ,由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能證明0<g(x)<1.
【考點(diǎn)精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)是解答本題的根本,需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A.
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