Question

兩異面直線AB、CD都平行于平面α，M、N分別為AC、BD的中點(diǎn)，且M∈α，N∈α，設(shè)AB+CD=l，則有（　　）

• A．MN＞

  1

  2

  l
• B．MN＜

  1

  2

  l
• C．MN=

  1

  2

  l
• D．以上三種都有可能

Answer 1

分析：連接AD交平面α于點(diǎn)G，連接MG、NG，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，可得GN、GM分別是△ABD和△ACD的中位線．因?yàn)椤鱉NG中，GM+GN＞MN，所以

1

2

（AB+CD）＞MN，由此即可得到本題的答案．

解答：解：連接AD交平面α于點(diǎn)G，連接MG、NG
∵AB∥平面α，AB?平面ABD，平面ABD∩平面α=GN
∴GN∥AB
∵△ABD中，N是BD中點(diǎn)，
∴GN是△ABD的中位線，可得GN=

1

2

AB
同理，可得GM是△ACD的中位線，可得GM=

1

2

CD
∵直線AB、CD是異面直線
∴M、N、G三點(diǎn)不共線
故△MNG中，GM+GN＞MN，即

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2

（AB+CD）＞MN，
∵AB+CD=l，∴MN＜

1

2

l
故選：B

點(diǎn)評(píng)：本題給出與平面α平行且在平面α兩側(cè)的異面線段AB、CD，在已知AC、BD交平面α于M、N的情況下比較

1

2

（AB+CD）與MN的大小，著重考查了直線與平面平行的性質(zhì)定理、三角形的中位線等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．